CHO BA ĐIỂM A, B, C CỐ ĐỊNH VÀ THẲNG HÀNG THEO THỨ TỰ ĐÓ. VẼ ĐƯỜNG TR...

Câu 5: Cho ba điểm A, B, C cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn (O; R) bất kỳ đi quaB và C (BC < 2R). Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm). Gọi Ilà trung điểm của BC a) Chứng minh rằng 5 điểm A, M, O, I, N cùng thuộc 1 đường tròn b) Gọi J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MBC, E là giao điểm thứ hai của đường thẳng MJvới đường tròn (O). Chứng minh rằng EB = EC = EJ c) Khi đường tròn (O) thay đổi, gọi K là giao điểm của OA và MN. Chứng minh rằng tâmđường tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc một đường thẳng cố định Giải: a) Ta có AMO AIO ANO 90 

⁰

Do đó 5 điểm A, M, O, I, N cùng Mthuộc đường tròn đường kính AO b) Vì J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MBC nên  BMJ CMJ ; MBJ CBJJOSuy ra EB EC  EB = EC KLại có BJE BMJ MBJ   CIP  A B  CBE CBJ JBE BJE cân  EB = EJ c) Gọi P là giao điểm của MN với BC NETa có OKP OIP 90 

⁰

 

⁰

   nên tứ giác OKPI nội tiếp OKP OIP 180Áp dụng phương tích trong đường tròn ta có AK. AO = AP. AI; AM

²

AB.AC Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có AM

²

AK.AO. Suy ra AP. AI = AB. AC không đổi, mà I cố định nên P cố định. Do đó tâm đường tròn ngoạitiếp tam giác OIK chính là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác OKPI nằm trên đường trung trực củađoạn thẳng PI cố định