HƯỚNG DẪN GIẢI GỌI A LÀ GÓC NHỎ NHẤT CỦA TAM GIÁC ABC, SUY RA

Question

4 .Hướng dẫn giải Gọi A là góc nhỏ nhất của tam giác ABC, suy ra: A≤600. Ta có: 1 1. .sin .SABC = BH AC= AB A AC. Do đó:  1 . .sin 600 1.1.1. 3 3.SABC < AB AC < =2 22 2 2 4Bài toán 7. Chứng minh rằng bốn hình tròn đường kính là bốn cạnh của một tự giác lồi thì phủ kín miền tứ giác ABCD.CHINH PHỤC  KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAILấy M là một điểm tùy ý của tứ giác lồi ABCD. Có hai khả năng xảy ra: B• Nếu M nằm trên biên của đa giác (tức M nằm trên mộtCcạnh của tứ giác ABCD). Khi đó M nằm trong hình tròn có Mđường kính là cạnh ấy. Trong trường hợp này kết luận của Abài toán hiển nhiên đúng.  DTỦ SÁCH CẤP 2| 220 • Nếu M nằm bên trong tứ giác lồi ABCD .Khi đó ta có AMB BMC CMD DMA 360   + + + = 0Theo nguyên lí cực hạn thì trong các góc AMB,BMC,CMD,DMA  luôn tồn tại một góc có   số đo lớn nhất. Giả sử MaxBMC={AMB,BMC,CMD,DMA   }. Khi đó BMC 90≥ 0Từ  đó suy ra M nằm trong (hoặc cùng lắm là nằm trên) đường tròn đường kính BC. Vậy dĩ nhiên M bị phủ bởi đường tròn này. Như thế do M là điểm tùy ý của tứ giác ABCD, ta suy ra bốn hình tròn nói trên phủ kín tứ giác lồi đã cho. Vậy ta có điều phải chứng minh.  Bài toán 8. Trên mặt phẳng cho 2 2000×  điểm; trong đó không có bất kỳ 3 điểm nào thẳng hàng. Người ta tô 2000 điểm bằng màu đỏ và tô 2000 điểm còn lại bằng màu xanh. Chứng minh răng; bao giờ cũng tồn tại một cách nối tất cả các điểm màu đỏ với tất cả các điểm màu xanh bởi 2000 đoạn thẳng không có điểm nào chung. Xem tất cả các cách nối 2000 cặp điểm ( đỏ với xanh) bằng 2000 đoạn thẳng. Các cách nối như vậy luôn luôn tồn tại và do chỉ có 2000 cặp điểm nên số tất cả các cạnh nối như vậy là CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC hưỡ hạn.    Do đó, ắt tìm được một cách nối có tổng độ dài các đoạn thẳng là ngắn nhất. Ta chứng minh rằng đây là cách nối phải tìm.     Thật vậy; giả sử ngược lại ta có hai đoạn thẳng AX và BY mà cắt nhau tại điểm O ( Giả sử A và B tô màu đỏ, còn X và Y tô màu xanh). Khi đó, nếu ta thay đoạn thẳng AX và BY bằng hai đoạn thẳng AY và BX, các đoạn khác giữ nguyên thì ta có cách nối này có tính chất: ( ) ( OX) = ( OX) + ( ) AX + BYAY+BX < AO OY+ + BO+ AO+ BO OY+ ⇒ AY+BX <      Như vậy; việc thay hai đoạn thẳng AX và BY bằng hai đoạn thẳng AY và BX, ta nhận được một cách nối mới có tổng độ dài các đoạn thẳng là nhỏ hơn. Vô lý, vì trái với giả thiết là đã chọn một cách nối có tổng các độ dài là bé nhất. Điều vô lý đó chứng tỏ: Cách nối có tổng độ dài các đoạn thẳng là nắng nhất là không có điểm chung. .221 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC      | CHỦ ĐỀ 9: CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ CỰC HẠN Bài toán 9. Cho 2000 đường thẳng phân biệt, trong đó ba đường thẳng bất kỳ trong số chúng đồng qui. Chứng minh rằng: cả 2000 đường thẳng đã cho đồng qui tại một điểm.Bằng  phương  pháp  phản  chứng:  Giả  sử Angược lại các đường thẳng đã cho không Gđi  qua  một  điểm.  Xét  các  giao  điểm  tạo nên bởi 2000 đường thẳng đã cho. Xét tất Pcả các khoảng cách khác 0 hạ từ các giao lđiểm này đến các đường thẳng đã cho CQB DGiả sử A là một giao điểm trong số đó Và gọi AQ là khoảng cách nhỏ nhất trong số đó vẽ từ A đến đường thẳng l trong số 2000 đường thẳng. Qua A theo giả thiết, phải có ít nhất ba đường thẳng này cắt l lần lượt tại B, C và D.      Vẽ AQ⊥l, thì hai trong ba điểm B, C, D phải nằm về cùng một phía của điểm Q, chẳng hạn là C và D.    Giả sử QC<QD; vẽ CP⊥AD QK, ⊥ AD⇒CP<QK< AQ. Vô lí, vì trái với giả sử AQ là khoảng cách bé nhất. Điều vô lí đó chứng tỏ 2000 đường thẳng đã cho đồng qui tại một điểm.  Bài  toán 10. Trên mặt phẳng  đã  cho  2000  điểm, khoảng cách giữa  chúng  đôi  một khác nhau. Nối mỗi điểm trong số 2000 điểm này với điểm ở gần nhất. Chứng minh rằng, với cách nối đó không thể nhận được một đường gấp khúc khép kín.  Giả sử ngược lại, chúng ta nhận được một đường gấp khúc khép kín. Gọi AB là mắt lớn nhất của đường gấp khúc khép kín này.     Giả sử AC và BD là hai mắt kề với mắt AB, ta có: ● AC<ABnên B không là điểm ngắn nhất của A.● BD<ABnên A không là điểm ngắn nhất của B. Chứng tỏ rằng Ava B không đượcnối với nhau. Vô lí! Điều vô lí này chứng tỏ không nhận được một đường gấp khúc khép kín với cách nối như vậy.  TỦ SÁCH CẤP 2| 222    Cách khác: Nếu có đoạn nối AB thì B là điểm ngắn nhất của A ( các khoảng cách khác nhau ) Vậy không tồn tại đoạn nối A với 1998 điểm còn lại. như thế các đoạn nối không thể tạo thành  đường gấp khúc ( đường ấp khúc khôn tồn tại kể cả khi có hai đoạn). C. BÀI TẬP ÁP DỤNG

Answer

4 .Hướng dẫn giải Gọi A là góc nhỏ nhất của tam giác ABC, suy ra: A≤600. Ta có: 1 1. .sin .SABC = BH AC= AB A AC. Do đó:  1 . .sin 600 1.1.1. 3 3.SABC < AB AC < =2 22 2 2 4Bài toán 7. Chứng minh rằng bốn hình tròn đường kính là bốn cạnh của một tự giác lồi thì phủ kín miền tứ giác ABCD.CHINH PHỤC  KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAILấy M là một điểm tùy ý của tứ giác lồi ABCD. Có hai khả năng xảy ra: B• Nếu M nằm trên biên của đa giác (tức M nằm trên mộtCcạnh của tứ giác ABCD). Khi đó M nằm trong hình tròn có Mđường kính là cạnh ấy. Trong trường hợp này kết luận của Abài toán hiển nhiên đúng.  DTỦ SÁCH CẤP 2| 220 • Nếu M nằm bên trong tứ giác lồi ABCD .Khi đó ta có AMB BMC CMD DMA 360   + + + = 0Theo nguyên lí cực hạn thì trong các góc AMB,BMC,CMD,DMA  luôn tồn tại một góc có   số đo lớn nhất. Giả sử MaxBMC={AMB,BMC,CMD,DMA   }. Khi đó BMC 90≥ 0Từ  đó suy ra M nằm trong (hoặc cùng lắm là nằm trên) đường tròn đường kính BC. Vậy dĩ nhiên M bị phủ bởi đường tròn này. Như thế do M là điểm tùy ý của tứ giác ABCD, ta suy ra bốn hình tròn nói trên phủ kín tứ giác lồi đã cho. Vậy ta có điều phải chứng minh.  Bài toán 8. Trên mặt phẳng cho 2 2000×  điểm; trong đó không có bất kỳ 3 điểm nào thẳng hàng. Người ta tô 2000 điểm bằng màu đỏ và tô 2000 điểm còn lại bằng màu xanh. Chứng minh răng; bao giờ cũng tồn tại một cách nối tất cả các điểm màu đỏ với tất cả các điểm màu xanh bởi 2000 đoạn thẳng không có điểm nào chung. Xem tất cả các cách nối 2000 cặp điểm ( đỏ với xanh) bằng 2000 đoạn thẳng. Các cách nối như vậy luôn luôn tồn tại và do chỉ có 2000 cặp điểm nên số tất cả các cạnh nối như vậy là CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC hưỡ hạn.    Do đó, ắt tìm được một cách nối có tổng độ dài các đoạn thẳng là ngắn nhất. Ta chứng minh rằng đây là cách nối phải tìm.     Thật vậy; giả sử ngược lại ta có hai đoạn thẳng AX và BY mà cắt nhau tại điểm O ( Giả sử A và B tô màu đỏ, còn X và Y tô màu xanh). Khi đó, nếu ta thay đoạn thẳng AX và BY bằng hai đoạn thẳng AY và BX, các đoạn khác giữ nguyên thì ta có cách nối này có tính chất: ( ) ( OX) = ( OX) + ( ) AX + BYAY+BX < AO OY+ + BO+ AO+ BO OY+ ⇒ AY+BX <      Như vậy; việc thay hai đoạn thẳng AX và BY bằng hai đoạn thẳng AY và BX, ta nhận được một cách nối mới có tổng độ dài các đoạn thẳng là nhỏ hơn. Vô lý, vì trái với giả thiết là đã chọn một cách nối có tổng các độ dài là bé nhất. Điều vô lý đó chứng tỏ: Cách nối có tổng độ dài các đoạn thẳng là nắng nhất là không có điểm chung. .221 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC      | CHỦ ĐỀ 9: CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ CỰC HẠN Bài toán 9. Cho 2000 đường thẳng phân biệt, trong đó ba đường thẳng bất kỳ trong số chúng đồng qui. Chứng minh rằng: cả 2000 đường thẳng đã cho đồng qui tại một điểm.Bằng  phương  pháp  phản  chứng:  Giả  sử Angược lại các đường thẳng đã cho không Gđi  qua  một  điểm.  Xét  các  giao  điểm  tạo nên bởi 2000 đường thẳng đã cho. Xét tất Pcả các khoảng cách khác 0 hạ từ các giao lđiểm này đến các đường thẳng đã cho CQB DGiả sử A là một giao điểm trong số đó Và gọi AQ là khoảng cách nhỏ nhất trong số đó vẽ từ A đến đường thẳng l trong số 2000 đường thẳng. Qua A theo giả thiết, phải có ít nhất ba đường thẳng này cắt l lần lượt tại B, C và D.      Vẽ AQ⊥l, thì hai trong ba điểm B, C, D phải nằm về cùng một phía của điểm Q, chẳng hạn là C và D.    Giả sử QC<QD; vẽ CP⊥AD QK, ⊥ AD⇒CP<QK< AQ. Vô lí, vì trái với giả sử AQ là khoảng cách bé nhất. Điều vô lí đó chứng tỏ 2000 đường thẳng đã cho đồng qui tại một điểm.  Bài  toán 10. Trên mặt phẳng  đã  cho  2000  điểm, khoảng cách giữa  chúng  đôi  một khác nhau. Nối mỗi điểm trong số 2000 điểm này với điểm ở gần nhất. Chứng minh rằng, với cách nối đó không thể nhận được một đường gấp khúc khép kín.  Giả sử ngược lại, chúng ta nhận được một đường gấp khúc khép kín. Gọi AB là mắt lớn nhất của đường gấp khúc khép kín này.     Giả sử AC và BD là hai mắt kề với mắt AB, ta có: ● AC<ABnên B không là điểm ngắn nhất của A.● BD<ABnên A không là điểm ngắn nhất của B. Chứng tỏ rằng Ava B không đượcnối với nhau. Vô lí! Điều vô lí này chứng tỏ không nhận được một đường gấp khúc khép kín với cách nối như vậy.  TỦ SÁCH CẤP 2| 222    Cách khác: Nếu có đoạn nối AB thì B là điểm ngắn nhất của A ( các khoảng cách khác nhau ) Vậy không tồn tại đoạn nối A với 1998 điểm còn lại. như thế các đoạn nối không thể tạo thành  đường gấp khúc ( đường ấp khúc khôn tồn tại kể cả khi có hai đoạn). C. BÀI TẬP ÁP DỤNG

HƯỚNG DẪN GIẢI GỌI A LÀ GÓC NHỎ NHẤT CỦA TAM GIÁC ABC, SUY RA

Bạn đang xem 4 . - Các bài toán sử dụng nguyên lý cực hạn -