CÁC BƯỚC ÁP DỤNG NGUYÊN LÝ CỰC HẠN KHI GIẢI TOÁNKHI VẬN DỤNG NGUYÊN...

2. Các bước áp dụng nguyên lý cực hạn khi giải toán

Khi vận dụng nguyên lí này, ta phải tiến hành các bước sau:

•

Bước 1. Chứng minh rằng trong tất cả các giá trị cần khảo sát luôn tồn tại giá trị lớn nhất

hoặc giá trị nhỏ nhất.

•

Bước 2. Xét bài toán trong trường hợp riêng khi nó nhận giá trị này (nhỏ nhất hoặc lớn

nhất)

•

Bước 3. Chỉ ra một mâu thuẫn, chỉ ra một giá trị còn nhỏ hơn (hay lớn hơn) giá trị ta đang

khảo sát .

Theo nguyên lí của phương pháp phản chứng, ta sẽ suy ra điều phải chứng minh.

.217 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC

| CHỦ ĐỀ 9: CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ CỰC HẠN

B. BÀI TẬP VẬN DỤNG

Bài toán 1.

Tồn tại hay không tồn tại 100 điểm sao cho với bất kì hai điểm A; B nào

trong 100 điểm đó cũng tồn tại một điểm C trong các điểm còn lại mà góc



⁰

ACB 60

<

Hướng dẫn giải

C

Giả sử tồn tại 100 điểm có tính chất như

đề bài. Gọi A; B là hai điểm có khoảng

cách lớn nhất trong 100 điểm này và tồn

tại điểm C mà góc

^{ACB 60}

^

<

⁰

Điểm C không thể thuộc đường thẳng

AB

A

B

Xét tam giác ABC có cạnh AB lớn nhất

nên góc C là lớn nhất, mà góc

ACB 60

<

nên góc A và B cũng < 60

⁰

Do đó

  

A B

+ + <

C

180

⁰

vô lý nên không tồn tại 100 điểm trên

Bài toán 2.

Cho 10 đường thẳng trong đó không có hai đường nào song song. Biết

qua giao điểm của 2 đường thẳng bất kì trong 10 đường thẳng đó có ít nhất một

đường thẳng trong các đường thẳng còn lại đi qua. Chứng minh 10 đường thẳng

đó đồng qui.

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

ẤP

H

AI

Giả sử 10 đường này không đồng qui.

A

Xét đường thẳng d, có 1 hoặc nhiều giao

điểm của 2 đường thẳng đã cho nằm

E

ngoài d, ta gọi A là điểm nằm gần d nhất

Theo giả thiết có ít nhất 3 đường thẳng

d

qua A.

B

D

C

TỦ SÁCH CẤP 2| 218

do không có hai đường thẳng nào // nên ba đường thẳng này cắt d tại 3 điểm khác nhau

B; C; D và giả sử C nằm giữa B và D

Cũng theo giả thiết qua

C còn có một đường thẳng nữa, đường thẳng này cắt đoạn AB,

AD tại E; F , chẳng hạn cắt AB tại E nằm giữa A và D, khi đó dễ thấy khoảng cách từ E đến

d < khoảng cách từ A đến d, điều này trái với cách chọn điểm A và đường thẳng d

Vậy 10 đường thẳng này đồng qui.

Bài toán 3. Cho một đa giác lồi n cạnh ( n > 3). Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có

đỉnh lấy từ đỉnh đa giác đã cho mà đường tròn ngoại tiếp tam giác chứa tất cả các đỉnh

còn lại của đa giác

Với đa giác

A A

₁

₂

...

A

_n

, xét tất cả các góc

A A A

₁

_i

₂

( Với i từ 3 đến n) ta chọn góc có số

đo nhỏ nhất



A A A

đường tròn ngoại tiếp tam giác

A A A

1

k

2

chứa tất cả các đỉnh khác của

1

k

2

đa giác.

Thật vậy nếu có đỉnh A

^j

(j từ 3 đến n) mà ở ngoài đường tròn thì

^{ }

A A A

1

j

2

<

A A A

1

k

2

Mâu thuẫn, vậy bài toán được chứng minh.

Bài toán 4. Một nước có 80 sân bay, mà khoảng cách giữa hai sân bay nào cũng khác nhau.

Mỗi máy bay cất cánh từ một sân bay và bay đến sân bay nào gần nhất. chứng minh rằng,

trên bất kỳ sân bay nào cũng không thể có quá 5 máy bay bay đến.

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Từ giả thiết suy ra nếu các máy bay bay từ các sân bay M và N đến sân bay O thì

khoảng cách MN là lớn nhất trong các cạnh của tam giác MON, do đó

MON



>

60

⁰

.

Giả sử rằng các máy bay bay từ

các sân bay

M M

₁

,

₂

,...,

M

_n

đến sân bay O thì một

trong các góc

M OM

^

i

j

không lớn hơn

360

⁰

( , ,

i j n

1, 2, 3,...80)

n

=

vì tổng các góc đã cho

bằng

360

⁰

. Vậy:

360

⁰

⁰

60

n

6

n

>

⇒ <

; suy ra điều phải chứng minh.

Bài toán 5.

Trong tam giác ABC có ba góc nhọn. lấy một điểm P bất kỳ; chứng minh

khoảng cách lớn nhất trong các khoảng cách từ điểm P đến các đỉnh A, B, C của tam giác

không nhỏ hơn 2 lần khoảng cách bé nhất trong các khoảng cách từ điểm P đến các cạnh

.219 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC

của tam giác đó.

Dựng

PA PB PC

1

,

1

,

1

tương ứng vuông góc với các cạnh BC, CA, AB. Vì tam giác ABC có

ba góc nhọn nên các điểm

A B C

1

,

1

,

1

tương ứng nằm trong đoạn BC, CA và AB. Nối PA,

PB, PC ta có:

     

⁰

APC

+

C PB

+

BPA

+

A PC

+

CPB

+

B PA

=

. Suy ra góc lớn nhất trong 6 góc này không

1

1

1

1

1

1

360

thể nhỏ

hơn

60

⁰

. Không mất tính tổng quát, ta giả sử góc

APC

₁

là lớn nhất, khi đó

PC

APC

APC

≥

. Xét

∆

APC

₁

vuông tại

C

₁

, ta có:

¹

cos

^

₁

60

⁰

¹

1

60

2

AP

=

≤

=

. Từ

đó ta có:

AP

≥

PC

. Nếu thay PA bằng khoảng cách lớn nhất trong các khoảng cách từ P đến

2

1

các đỉnh và thay

PC

1

bằng khoảng cách ngắn nhất trong các khoảng cách từ P đến các

cạnh thì bất đẳng thức càng được thỏa mãn.

Bài toán 6. Chứng minh rằng: Nếu tất cả các cạnh của tam giác đều nhỏ hơn 1 thì diện tích

tam giác nhỏ hơn

³