S  AB AC NHƯ VẬY SIN 900 1, ĐIỀU NÀY SẼ HỌC Ở CÁC LỚP TRÊN. VÍ DỤ...

2 .S  AB AC Như vậy sin 90

⁰

1, điều này sẽ học ở các lớp trên. Ví dụ 2. Tứ giác ABCD có ACm BD, n, góc nhọn tạo bởi hai đường chéo bằng . Chứng minh rằng diện tích của tứ giác này được tính theo công thức 1sin .S 2mn  Giải Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giả sử BOC. Vẽ AH BD CK, BD. Ta có AH OAsin ; sinCKOC  và OA OC  AC. Diện tích tứ giác ABCD là: 1 1   . .S S S BD AH BD CK

ABD

CBD

2 2 ( ) (OAsin sin )BD AH CK BD OC1 1 1     BD OA OC AC BD mnsin ( ) . sin sin2 2 2Lưu ý: • Nếu ACBD ta có ngay 1 12AC BD. 2mS  n • Phương pháp tính diện tích của tứ giác trong ví dụ này là chia tứ giác thành hai tam giác không có điểm trong chung, rồi tính diện tích của từng tam giác. Ví dụ 3. Cho tam giác nhọn ABC. Gọi độ dài các cạnh BC, CA, AB lần lượt là a, b, c. Tính diện tích tam giác ABC biết a4 2cm b, 5cm c, 7cm. Theo định lí côsin ta có: a

²

b

²

c

²

2bccos .A Do đó

 

^{4 2}

²

^5

²

^7

²

^{2.5.7.cosA} Suy ra 3

²

9 4cos sin 1 cos 1A  A  A   5 25 5Vậy diện tích tam giác ABC là: ^{1 sin 1.5.7.4 14}

 

²

S  bc A  cm 2 2 5Nhận xét: Trong cách giải trên ta đã tìm cosA rồi suy ra sin .A Ta cũng có thể vận dụng định lí côsin để tìm cosB rồi suy ra sinB (hoặc tìm cosC rồi suy ra sin )C Ví dụ 4. Tứ giác ABCD có ACBD12cm. Góc nhọn giữa hai đường chéo là 45 . Tính diện tích lớn nhất của tứ giác đó. Giải Gọi O là giao điểm của AC và BD. Giả sử AOD45 . Diện tích tứ giác ABCD là: 1 1 2 2. .sin 45 . . . .S  AC BD   AC BD  AC BD2 2 2 4

2

AC BDTheo bất đẳng thức Cô-si, ta có:    . 2AC BD   Do đó ²

²

^2.6

²

^{9 2}

 

²

S       cm 4 2 4Vậy maxS 9 2cm

²

khi ACBD6cm. Ví dụ 5. Cho tam giác ABC A, 60 . Vẽ đường phân giác AD. Chứng minh rằng: 1 1 3AB AC  AD Ta có 1

0

1 1. .sin 30 . .S

ABD

 AB AD  AB AD . . sin 30 . . .S

ACD

 AC AD   AC AD 1 1 3. .sin 60 . .S

ABC

 AB AC   AB AC Mặt khác S

_ABD

 S

_ACD

S

_ABC

nên 1 1 1 1 1 3. . . .2AB AD 22AC AD 2 2AB AC 2 Do đó ^{AD AB}



^AC



^{AB AC. 3}    Suy ra AB AC 3 1 1 3hay .AB.AC AD AB AC ADNhận xét: Phưong pháp giải trong ví dụ này dựa trên quan hệ tổng diện tích các tam giác ABD và tam giác ACD bằng diện tích tam giác ABC. Ví dụ 6. Tam giác ABC có mỗi cạnh đều nhỏ hơn 4cm. Chứng minh rằng tam giác này có diện tích nhỏ hơn 7cm

²

Giả sử A B C, khi đó A60 và 3sinA 2 Diện tích tam giác ABC là:

 

²

. .sin .4.4. 4 3 6, 92... 7 .S  AB AC A    cm Nhận xét: Do vai trò các góc A, B, C của tam giác ABC là như nhau nên ta có thể giả sử A B C,từ đó suy ra A60 , dẫn tới 3sinA 2C. Bài tập vận dụng • Tính diện tích