GIẢ SỬ N LÀ SỐ TỰ NHIÊN CHIA 17 DƯ 10, KHI ĐÓ N 0≠ VÀ N CÓ DẠ...
Bài 20. Giả sử n là số tự nhiên chia 17 dư 10, khi đó
n 0
≠
và n có dạng
n 17k 10
=
+
với
k N
∈
.
Gọi 100 số tự nhiên được chọn là
17k 10;17k 10;17k 10;...;17k
1
+
2
+
3
+
100
+
10
.
Không mất tính tổng quát ta giả sử
k
1
<
k
2
<
k
3
< <
... k
100
.
Nếu
k
100
≥
118
thi khi đó
17k
100
+
10 17.118 10 2016 . Do đó
≥
+
=
k
100
≤
117
.
Ta sẽ chứng minh
k
3
≤
20
. Thật vậy, giả sử
k
3
≥
21
.
Khi đó từ
k
1
<
k
2
<
k
3
< <
... k
100
suy ra
k
4
≥
k 1; k
3
+
5
≥
k 1; k
4
+
6
≥
k 1;...; k
5
+
100
≥
k
99
+
1
Nên từ
k
3
≥
21
suy ra
k
4
≥
21 1 22; k
+ =
5
≥
22 1 23; k
+ =
6
≥
23 1 24;...; k
+ =
100
≥
117 1 118
+ =
,
điều này trái với
k
100
≥
118
. Do đó
k
3
≤
20
. Vì
k
3
≤
20
nên suy ra
k
2
≤
19; k 18
1
≤
.
Với kết quả trên ta chon ba số nhỏ nhất trong 100 số trên là
17k 10;17k 10;17k 10
1
+
2
+
3
+
.
Khi đó ta được
(
) (
) (
)
CH
UY
ÊN
Đ
Ề
S
Ố
H
Ọ
C
17k 10 17k 10 17k 10 17.18 10
17.19 10
17.20 10
999
+
+
+
+
+
≤
+
+
+
+
+
=
1
2
3
Vậy ta luôn chọn được ba số có tổng không lớn hơn 999. bài toán được chứng minh.
.511 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC