2. A) CHO F LÀ MỘT ĐỒNG CẤU TUYẾN TÍNH CỦA KHÔNG GIAN N-CHIỀU V...

Câu 1.2. a) Cho f là một đồng cấu tuyến tính của không gian n-chiều V trên trường . Ký hiệu là ảnh và là hạt nhân của f. Chứng minh rằng khi và chỉ khi và . b)Cho là không gian vector các đa thức biến lấy hệ số trên trường và là một số tư nhiên. Xét đồng cấu xác định bởi ( ) , trong đó là đạo hàm của . Chứng minh rằng là môt đơn cấu nhưng không phải là một toàn cấu. (Đợt 2 năm 2012) Giải. a)Khi: Giả sử và . Lấy bất kỳ. Khi đó , do đó tồn tại mà . Suy ra ( ) hay . Vậy với . Điều này chứng tỏ . Vậy . Tiếp theo ta chứng minh { }. Thât vậy, giả sử . Do nên với . Khi đó ( ) . Chỉ khi: Giả sử . Rõ ràng ( ) . Ngược lại, giả sử . Khi đó với , do nên với

. Suy ra

. Vậy . Hiển nhiên . Từ đẳng thức và ta có . Vậy . b)Dễ dàng kiểm tra là một đồng cấu. Với ∑

ta có ( ) ∑

Nếu ( ) thì

, tức . Vậy là đơn ánh. Gỉa sử ( ) . Nếu thì ( ) , còn nếu thì ( ) . Vì vậy không có một đa thức nào để bậc của bằng p+1. Vậy f không toàn ánh.