9 A. CHO R LÀ MỘT VÀNH GIAO HOÁN, KHÁC KHÔNG VÀ CÓ Đ...
Câu 4.9 a. Cho R là một vành giao hoán, khác không và có đơn vị sao cho mọi đồng cấu khác không từ vành R vào một vành khác không đều là đơn cấu. Chứng minh R là một trường. b. Cho f: → là đồng cấu vành và g: → là đơn cấu vành sao cho Imf
Img. Chứng minh tồn tại duy nhất một đồng cấu vành h: → sao cho f = go h. Hơn nữa, h là toàn cấu vành nếu Imf = Img. (Đợt 2, 2016) Giải. a. Giả sử mọi đồng cấu khác không từ vành R vào một vành khác không đều là đơn cấu. VớiR
x
(
0
)
, xét iđêanI
x
sinh bởix
.
Nếu I R, ta có vành thươngR I
/
{0}
vàp
:
R
R
/
I
là đồng cấu vành khác không nên plà đơn cấu. Điều này vô lý nên suy ra I R. Do đó, 1Inên tồn tạia
R
sao cho1
ax
hayx
khả nghịch. Vậy R là một trường. b.- Xác định tương ứng h: → Với A, ta có f(a) Imf
Imgvà g: → là đơn cấu nên tồn tại duy nhất C sao cho f(a) = g(c). Định nghĩa h (a) = c và chứng minh tương ứng h là ánh xạ.- Chứng minh h là đồng cấu vành duy nhất thoả mãn f = go h. Chứng minh h là toàn cấu vành nếu Imf = Img.