9 A. CHO R LÀ MỘT VÀNH GIAO HOÁN, KHÁC KHÔNG VÀ CÓ Đ...

Câu 4.9 a. Cho R là một vành giao hoán, khác không và có đơn vị sao cho mọi đồng cấu khác không từ vành R vào một vành khác không đều là đơn cấu. Chứng minh R là một trường. b. Cho f: → là đồng cấu vành và g: → là đơn cấu vành sao cho Imf

Img. Chứng minh tồn tại duy nhất một đồng cấu vành h: → sao cho f = go h. Hơn nữa, h là toàn cấu vành nếu Imf = Img. (Đợt 2, 2016) Giải. a. Giả sử mọi đồng cấu khác không từ vành R vào một vành khác không đều là đơn cấu. Với

R

x

(

0

)

, xét iđêan

I

x

sinh bởi

x

.

Nếu IR, ta có vành thương

R I

/

{0}

p

:

R

R

/

I

là đồng cấu vành khác không nên plà đơn cấu. Điều này vô lý nên suy ra IR. Do đó, 1Inên tồn tại

a

R

sao cho

1

ax

hay

x

khả nghịch. Vậy R là một trường. b.- Xác định tương ứng h: → Với A, ta có f(a) Imf

Imgvà g: → là đơn cấu nên tồn tại duy nhất C sao cho f(a) = g(c). Định nghĩa h (a) = c và chứng minh tương ứng h là ánh xạ.- Chứng minh h là đồng cấu vành duy nhất thoả mãn f = go h. Chứng minh h là toàn cấu vành nếu Imf = Img.