1. CHO H LÀ MÔT DẠNG TOÀN PHƯƠNG TRÊN KHÔNG GIAN VECTOR THỰC N-C...

Câu 2.1. Cho H là môt dạng toàn phương trên không gian vector thực n-chiều V và A là ma trận của H đối với môt cơ sở cho trước của V. Dạng toàn phương H được gọi là xác định dương nếu với mọi . Chứng minh H là xác định dương khi và chỉ khi các định thức con chính của A là dương. Giải. Giả sử là cơ sở của V trong đó H có ma trận A. Trực giao hóa Shmidt hệ , ta được hệ trực giao . Trong cơ sở trực giao , H có ma trận chéo , ( Gọi (tương ứng ) là ma trận nằm ở giao của k hàng đầu và k cột đầu của A (tương ứng của B). Khi đó và là ma trận của tương ứng trong các cơ sở và . Gọi là ma trận chuyển từ cơ sở thứ nhất sang cơ sở thứ hai, ta có

Theo trực giao hóa Shmidt, là ma trân tam giác trên với các phần tử trên đường chéo bằng 1. Vì thế . Suy ra . H là xác định dương nếu và chỉ nếu với mọi . Điều này có nghĩa là .