2 A)CHO R LÀ MỘT VÀNH GIAO HOÁN, KHÁC KHÔNG VÀ CÓ ĐƠN VI. CHỨNG...
Câu 4.2 a)Cho R là một vành giao hoán, khác không và có đơn vi. Chứng minh rằng R là môt trường nếu và chỉ nếu mọi đồng cấu khác không từ vành R vào một vành khác không đều là đơn cấu. b)Cho số nguyên dương n và hai đa thức
Chứng minh chia hết . (Đợt 2 năm 2012) Giải. a) Nếu: Giả sử mọi đồng cấu khác không từ vành R vào một vành khác không đều là đơn cấu. Lấy , ta sẽ chứng minh c khả nghịch. Thật vậy, giả sử phản chứng c không khả nghịch. Xét vành thương và phép chiếu . Rõ ràng là đồng cấu. khác không vì nếu ngược lại thì , suy ra c khả nghịch, vô lý. Theo giả thiết, f là đơn cấu, vô lý vì nhưng . Chỉ nếu: Giả sử R là một trường và là một đồng cấu vành từ R vào vành khác không S. Nếu f không là đơn cấu thì tồn tại mà . Đặt thì và . Do nên tồn tại
. Khi đó với thì
. Vậy f là đồng cấu không. Vô lý. b) có các nghiệm
. Có thể kiểm tra và . Với thì . Do
nên , do đó
Vậy chia hết .