4 A)KÝ HIỆU LÀ VÀNH CÁC SỐ NGUYÊN MODULO N. HÃY TÌM ĐIỀU KIỆN...

Câu 4.4 a)Ký hiệu là vành các số nguyên modulo n. Hãy tìm điều kiện cần và đủ để ánh xạ là một đồng cấu nhóm cộng. Áp dụng tìm tất cả các đồng cấu vành từ

vào

. b)Cho hai đa thức { }, với là một trường. Chứng minh rằng A và B không nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi tồn tại { } sao cho và . (Đợt 2 năm 2013) Giải.a)Ta sẽ chứng minh là môt đồng cấu nhóm cộng khi và chỉ khi ̅ có cấp là ước chung của m và n. Thật vậy, đặt ̅ thì nên là ước chung của m. Ngoài ra do f là đồng cấu nhóm cộng nên ̅ ̅ ̅ ̅. Suy ra là ước của n. Do đó là ước chung của m và n. Đảo lại, giả sử là ước chung của m và n. Ta dễ dàng chứng minh mà ( ̅) là một đồng cấu nhóm cộng. Vì và

có các phần tử có cấp ước của 6 là ̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅; các đồng cấu nhóm công từ

vào

là ̅ ̅ ̅ ̅̅̅̅ ̅ ̅̅̅̅ ̅ ̅̅̅̅ ̅ ̅̅̅̅ ̅ ̅̅̅̅. Đồng cấu nhóm cộng

là một đồng cấu vành khi và chỉ khi ̅ ̅

̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ( ̅ ) . Kiểm tra điều này, ta được các đồng cấu vành là . b)Chỉ khi: Kí hiệu ta có . Khi đó tồn tại { } mà . Kí hiệu ta có và . Khi: Giả sử tồn tại { } sao cho . Kí hiệu , khi đó tồn tại { } mà và . Vì nên , suy ra hay . Vậy tồn tại { } mà , Từ đó ta có , suy ra hay A và B không nguyên tố cùng nhau.