13 A.CHO D LÀ MỘT MIỀN NGUYÊN CÓ ĐƠN VỊ 1 VÀ GIẢ SỬ 1 CÓ CẤP LÀ...

Câu 4.13 a.Cho D là một miền nguyên có đơn vị 1 và giả sử 1 có cấp là p. Chứng minh rằng p là một số nguyên tố và ánh xạ cho bởi là một tự đồng cấu vành của D. b.Cho ℚ là vành đa thức một biến với hệ số trên trường hữu tỷ ℚ. Chứng minh rằng với thì đa thức là bất khả quy trong vành ℚ . (Đợt 2, 2018) Giải.a.Nếu với thì do ta phải có hoặc hoặc , vô lý. Vậy p là số nguyên tố. Do p nguyên tố, các hệ số trong khai triển đều là bội của p, vậy . Suy ra . Do đó f là môt đồng cấu vành. b)Giả sử là khả quy trong ℚ , khi đó (do f phải có nghiệm ℚ. Suy rs ( )

hay (

)

. Vậy đa thức có nghiệm hữu tỷ. Mâu thuẩn vì nếu có nghiệm hữu tỷ thì nghiệm đó phải bằng , trong khi .