5 XÉT LÀ VÀNH CÁC MA TRẬN VUÔNG CẤP N VỚI HỆ SỐ THỰC. CHỨN...

Câu 4.5 Xét là vành các ma trận vuông cấp n với hệ số thực. Chứng minh rằng: a)Ma trận A là ước bên trái và bên phải của không trong khi và chỉ khi . b)Tập hợp tất cả các ma trân của mà từ dòng thứ hai trở đi đều bằng không là một vành con của và mọi ma trận khác không của đều là ước bên phải của không trong vành . Xét xem những ma trận nào không phải là ước bên trái của không trong vành . c)Trong vành tồn tại vô số đơn vị trái. (Đợt 1 năm 2014, đợt 1 năm 2019) Giải.a) Ma trận A là ước bên trái của không trong khi và chỉ khi tồn tại { } sao cho . Nếu X là cột khác không của B thì từ ta có , điều này tương đương với . Tương tự cho ước bên phải. b)Rõ ràng . Có thể kiểm tra nếu thì và . Vậy là vành con của . Mọi ma trận đều là ước bên phải của không trong , vì nếu chọn

và

không đồng thời bằng không thì . Ma trận mà

không phải là ước bên trái của không trong vành . c)Các đơn vị trái trong là các ma trận có phần tử dòng 1 cột 1 bằng 1 và các phần tử khác của dòng 1 là tùy ý. Do đó tập các đơn vị trái là vô hạn.