1. CHO M LÀ VÀNH CÁC MA TRÂN VUÔNG CẤP N TRÊN TRƯỜNG SỐ THỰC V...

Câu 4.1. Cho M là vành các ma trân vuông cấp n trên trường số thực với phép cộng và nhân hai ma trận. Chứng minh một ma trận vuông của M là một ước của không trong M khi và chỉ khi det(A) = 0. Giải . Kí hiệu là vector cột thứ i của A, tức Chỉ khi: Giả sử A là một ước của không, khi đó tồn tại ma trận mà Kí hiệu là vector cột thứ i của B. Vì nên tồn tại chỉ số i mà , có thể giả sử . Khi đó cột thứ 1 của ma trận AB là

. Do nên

. Do đó các vector là phu thuộc tuyến tính. Ma trận A có các vector cột phụ thuộc tuyến tính nên det(A) = 0. Khi: Giả sử det(A) = 0. Hệ phương trình vuông thuần nhất có det(A) = 0 nên có nghiệm không tầm thường. Chọn là n nghiệm không tầm thường của hệ này và đặt là ma trận có các cột là , rõ ràng . Do nên . Vậy A là một ước của không.