8 G LÀ TẬP HỢP CÁC MA TRẬN VUÔNG CẤP 2 HỆ SỐ THỰC CÓ DẠNG (...

Câu 3.8 G là tập hợp các ma trận vuông cấp 2 hệ số thực có dạng ( ) với và H là tập con của G gồm các phần tử có dạng ( ) với . Chứng minh: a) G là một nhóm với phép nhân ma trận và H là nhóm con chuẩn tắc trong G. b) Nhóm thương G/H đẳng cấu với nhóm nhân các số thực khác không. c) Với mỗi , kí hiệu { } là tâm hóa của A trong G. Hãy tìm tâm hóa của các phần tử ( ) ( ) và chứng tỏ chính là tâm của G. (Đợt 2 năm 2016, đợt 1 năm 2020) Giải. a)Ta đã biết tập X các ma trận cấp 2 không suy biến là một nhóm nhân. Rõ ràng . Với ( ) ( ) ta có ( ) (do ) Với ( ) ta có

( ) . Vậy G là nhóm con của X. Bây giờ giả sử ( ) ( ) ta có

( ) ( ) ( ) . Vậy H là nhóm con của G. Có thể thử lại

. Vậy . b)Xét ánh xạ xác định bởi ( ) . Rõ ràng f là một toàn cấu và {( ) } . Do đó . c)Kiểm tra trực tiếp, được và {( ) }. Vậy { }. Do nên . Hiển nhiên { } nên . Vậy .