1 CHO G LÀ MỘT NHÓM VÀ LÀ MÔT ÁNH XẠ VỚI XÁC ĐIN...

Câu 3.1 Cho G là một nhóm và là môt ánh xạ với xác đinh bởi

. Kí hiệu { là đẳng cấu} và { }. Chứng tỏ rằng: là một tự đẳng cấu của G, là một nhóm với phép toán hơp thành và là một nhóm con chuẩn tắc của . b) { } là môt nhóm con chuẩn tắc của G (goi là tâm của nhóm G) và ⁄ (Đơt 2 năm 2011) Giải. a)Với , tồn tại duy nhất

sao cho nên là một song ánh. Do

nên là môt tư đẳng cấu của G. vì . Với mọi , =

và

nên

. , (

)

(

) (

)

. Vì vậy

Do đó . b)Dễ dàng kiểm tra , vậy . , do và nên

. Vậy là nhóm con của G. Ngoài ra, do

nên . Xét ánh xạ xácđịnh bởi , hiển nhiên là môt toàn ánh. Do

nên là một đồng cấu, do đó là một toàn cấu. Ngoài ra, nên . Từ dẳng cấu ⁄ ta có đpcm.