1. CHO G LÀ MỘT NHÓM. VỚI MỖI , XÉT TỰ ĐẲNG CẤU TRONG...

Câu 3.1. Cho G là một nhóm. Với mỗi , xét tự đẳng cấu trong xác định bởi

với mọi . Ký hiệu { } là nhóm các tự đẳng cấu trong của G. Chứng minh rằng { } là một nhóm con chuẩn tắc của G và nhóm thương đẳng cấu với nhóm . Giải. *Với và ta có . Vậy . * Với và ta có . Suy ra

. Vậy

. Do đó Z(G) là một nhóm con của G. *Với và ; chú ý

ta có

Suy ra

và do đó . *Xét ánh xạ cho bởi . Rõ ràng F là một đồng cấu, hơn nữa là toàn cấu. Vậy Ta có { } { } {

} { } . Vì nên .