3 CHO R LÀ MỘT VÀNH KHÁC { }, KHÔNG CÓ ƯỚC CỦA KHÔNG (KHÔNG NHẤT...

Câu 4.3 Cho R là một vành khác { }, không có ước của không (không nhất thiết có đơn vị) và sao cho mọi nhóm con của nhóm cộng R là một ideal của R. Chứng minh rằng hoặc R đẳng cấu với một vành con của vành các số nguyên hoặc R đẳng cấu với vành các số nguyên modulo p với p là một số nguyên tố. (Đợt 1 năm 2013) Giải. Lấy { }. Nhóm con I của nhóm cộng R sinh bởi a là một ideal của R. Do đó với mỗi , tồn tại sao cho . Xét 2 trường hợp: * { }, : . Khi đó ( ) Điều này chứng tỏ ánh xạ mà là một đơn ánh. Ngoài ra do ( ) và ( ) nên và . Vậy f là một đơn cấu vành hay R đẳng cấu với môt vành con của vành . * { }, : Gọi p là số nguyên dương nhỏ nhất mà . Nếu với thì , suy ra hoặc hoặc mâu thuẩn với tính nhỏ nhất của p. Vậy p là một số nguyên tố. . Khi đó ( ) ̅ ̅̅̅ (trong ). Do đó ánh xạ mà ̅ là một đơn ánh. Vì ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅̅̅ và ̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅̅̅ nên f là một đơn cấu vành. Vì nên hay f là một toàn cấu. Vậy f là một đẳng cấu.