4 CHO LÀ MỘT ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH GIỮA CÁC KHÔNG GIAN VECTOR H...

Câu 1.4 Cho là một ánh xạ tuyến tính giữa các không gian vector hữu hạn chiều trên trường K. Chứng minh rằng: a)Nếu A là một không gian con k-chiều của V sao cho là một không gian con r-chiều thì . b)Nếu B là một không gian con của W sao cho là một không gian con s-chiều thì

. (Đợt 1, năm 2013) Giải. a)Xét một cơ sở của và bổ sung thành một cơ sở

của A. Dễ dàng thấy rằng

là một hệ sinh của . Nếu ∑

thì (∑

) hay ∑

. Khi đó ∑

∑

. Từ đây suy ra . Vậy hệ

là độc lập tuyến tính và do đó là một cơ sở của . Suy ra . b)Xét một cơ sở của và một cơ sở của . Có thể kiểm tra là một cơ sở của

. Vậy

. Áp dụng công thức ta có