5 CHO V LÀ MỘT KHÔNG GIAN VECTOR TRÊN TRƯỜNG F, A VÀ B LÀ HAI KH...

Câu 1.5 Cho V là một không gian vector trên trường F, A và B là hai không gian con hữu hạn chiều của V. Chứng minh rằng: a)Tổng { } là không gian con nhỏ nhất của V chứa A và B. b) . Hãy xác định và trong trường hợp . (Đợt 2 năm 2013) Giải. a)Dễ dàng thấy rằng là không gian con của V chứa A và B. Nếu C là không gian con của V chứa A và B thì với ta có , suy ra hay . Vậy . Do đó là không gian con nhỏ nhất của V chứa A và B. b)Giả sử là một cơ sở của . Bổ sung cơ sở trên để được các cơ sở

của A và

của B. Có thể kiểm tra

là một cơ sở của . Suy ra công thức cần chứng minh. Trong trường hợp ta phải có hoặc { hoặc { . Điều này suy ra hoặc {