CHO V LÀ KHÔNG GIAN EUCLID HỮU HẠN CHIỀU. PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN T...

Câu 1. Cho V là không gian Euclid hữu hạn chiều. Phép biến đổi tuyến tính của V được gọi là phép biến đổi trực giao nếu bảo toàn tích vô hướng, tức là . Chứng minh nếu là phép biến đổi trực giao của V và W là không gian con bất biến đối với thì phân bù trực giao của W trong V cũng bất biến đối với . Giải. Giả sử W là không gian con bất biến đối với , ta có . Gọi là phần bù trực giao của W trong V. Trước hết ta chứng minh . (1) Thật vậy, với , tồn tại mà . Với , do nên tồn tại mà . Khi đó Suy ra và như vây (1) được chứng minh. Bây giờ, giả sử là một cơ sở trực giao của . Vì bảo toàn tích vô hướng nên là một hệ trực giao trong do đó là môt hệ độc lập tuyến tính trong . Suy ra dim (2). Từ (1) và (2) suy ra . Vậy bất biến đối với .