8 CHO W LÀ MỘT KHÔNG GIAN CON CỦA K-KHÔNG GIAN VECTOR HỮU HAN CH...

Câu 1.8 Cho W là một không gian con của K-không gian vector hữu han chiều V và V/W là không gian thương của V trên W. Chứng minh rằng dim(V) = dim(W)+dim(V/W). (Đợt 1, năm 2015) Giải. Giả sử là một cơ sở của W. Bổ sung vào hệ này để có một cơ sở của V. Ta sẽ chứng minh là một cơ sở của V/W. Giả sử với . Khi đó và vì vậy . Do đó với . Vì hệ độc lập tuyến tính nên . Do đó, hệ là độc lập tuyến tính. Rõ ràng hệ là một hệ sinh của V/W. Thật vậy, mỗi vector sẽ biểu thị qua cơ sở của V: Nhưng do nên Ta đã chứng minh hệ là một hệ sinh của V/W, do đó hệ này là một co sở của V/W. Vậy dim V/W = s = (s+r)-r = dim V-dim W.