CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG VÀ CÁC BƯỚC CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG
1.1. Chứng minh phản chứng và các bước chứng minh phản chứng:
Trong chứng minh bằng phản chứng (tiếng La tinh là reductio ad absurdum, có nghĩa
là “thu giảm đến sự vô lí”), người ta sẽ chứng minh nếu một phát biểu nào đó xảy ra, thì
dẫn đến mâu thuẫn về lôgic, vì vậy phát biểu đó không được xảy ra. Phương pháp này có
lẽ là phương pháp phổ biến nhất trong chứng minh toán học.
Bước 1 (phủ định kết luận): Giả sử có điều trái với kết luận của bài toán.
Bước 2 (đưa đến mâu thuẫn): Từ điều giả sử trên và từ giả thiết của bài toán, ta suy ra
một điều mâu thuẫn với giả thiết hay với các kiến thức đã học.
Bước 3 (khẳng định kết luận): Vậy kết luận của bài toán là đúng.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng 2 là số vô tỉ.
Chứng minh:
Giả sử 2 là số hữu tỉ, ta sẽ biểu diễn được 2 a
b với a b , , b 0, ( , ) 1 a b .
Do đó a b 2 . Bình phương hai vế ta được: a
2
2 b
2
. Thì vế phải chia hết cho 2 nên vế
trái cũng phải chia hết cho 2 (vì chúng bằng nhau và đều là số tự nhiên). Do đó a
2
là số
chẵn, có nghĩa là a cũng phải là số chẵn. Do vậy ta có thể viết a 2 c , trong đó c cũng là
số tự nhiên. Thay vào phương trình ban đầu ta có: (2 ) c
2
2 b
2
hay b
2
2 c
2
. Nhưng khi
đó, tương tự như trên, b
2
chai hết cho 2 nên b phải là số chẵn. Nhưng nếu a và b đều là
số chẵn thì chúng sẽ có chung một ước số là 2. Điều này trái với giả thiết ( , ) 1 a b . Vậy
giả sử 2 là số hữu tỉ là sai. Do đó 2 là số vô tỉ.
Ví dụ 2: Không dùng máy tính, hãy chứng minh 6 35 1
10 .
Giả sử 6 35 1
10 hay 59 10 35 . Bình phương hai vế ta có: 59
2