BẰNG PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG
Bài 8. Bằng phương pháp chứng minh phản chứng:
A
Giải sử ngược lại các đường thẳng đã cho không đi
qua một điểm. Xét các giao điểm tạo nên bởi 2000
đường thẳng đã cho. Xét tất cả các khoảng cách khác
K
0 hạ từ giao các giao điểm này đến các đường thẳng
CH
IN
H
P
H
Ụ
C
K
Ỳ
T
H
I H
Ọ
C S
IN
H
GI
Ỏ
I C
Ấ
P H
AI
P
đã cho. Giả sử A là một giao điểm trong số đó và gọi
AQ là khoảng cách nhỏ nhất trong số đó vẽ từ A đến
l
B
Q
C
D
1 đường thẳng
l
trong số 2000 đường thẳng.
Qua A theo giả thiết, phải có ít nhất là 3 đường thẳng này cắt
l
lần lượt tại B, C và D.
Vẽ
AQ
⊥
l
,
thì hai trong ba điểm B, C, D phải nằm về cùng một phía với điểm Q, chẳng
hạn là C và D.
Giả sử
QC
<
QD
;
vẽ
CP
⊥
AD
,
vẽ
QK
⊥
AD
.
TỦ SÁCH CẤP 2| 504
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |
Suy ra:
CP
<
QK
<
AQ
. Vô lí, vì trái với giả sử AQ là khoảng cách bé nhất. Điều vô lí đó
chứng tỏ 2000 đường thẳng đã cho đồng quy tại 1 điểm.
Cách khác: Lấy hai đường thẳng bất kì
a b
,
cắt nhau tại M thì bất cứ đường thẳng tùy ý
nào cũng phải qua M. Vậy 2000 đường thẳng trên sẽ đồng quy.