GIẢ SỬ SÁU SỐ NGUYÊN DƯƠNG A ;A ;A ;A ;A ;A1 2 3 4 5 6 T...
Bài 18.
Giả sử
sáu số
nguyên dương
a ;a ;a ;a ;a ;a
1
2
3
4
5
6
thỏa mãn thỏa mãn yêu cầu bài
toán
Ta có
a
1
<
a
2
<
a
3
<
a
4
<
a
5
<
a
6
và
a a a a a a
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+
6
=
79
Ta có nhận xét, nếu
a
4
≥
12
thì
a
5
≥
2a
4
=
24
và
a
6
≥
2a
5
=
48
.
Khi đó
a a a a a a
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+
6
>
12 24 48 79
+
+
>
không thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Do đó ta được
a
4
<
12
.
.509 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC
Để ý là trừ số đầu tiên thì các số còn lại trong dãy số trên là bội của số đứng trước nó, do
đó ta có một cách chọn bốn số đầu tiên là
a
1
=
1;a
2
=
2;a
3
=
4;a
4
=
8
.
Ta có
a
5
=
ma
4
=
8m và
a
6
=
na
5
=
8mn với m, n là các số nguyên dương lớn hơn 1.
Mặt khác ta lại có
a a a a a a
1
+
2
+
3
+
4
+
5
+
6
=
79
. Từ đó ta được
(
)
1 2 4 8 8m 8mn 79
m 1 n
8
+ + + +
+
=
⇒
+
=
Giải phương trình nghiệm nguyên trên kết hợp với điều kiện số thứ sáu của dãy lớn nhất
ta được
m 2; n 3 nên ta được
=
=
a
6
=
48 .
Vậy dãy số cần tìm là 1; 2; 4; 8; 16; 48.