GIẢ SỬ CÁC SỐ NGUYÊN DƯƠNG A, B THỎA MÃN YÊU CẦU BÀI TOÁN, KHI...
Câu 73. Giả sử các số nguyên dương a, b thỏa mãn yêu cầu bài toán, khi đó ta có
(
4a 1,4b 1 1 và
+
− =
)
16ab 1 a b .
+
(
+
)
Ta có
(
4a 1 4b 1 16ab 1 4 a b a b .
+
)(
+ =
)
+ +
(
+
) (
+
)
Lại có
4a 1 4b 1 4 a b a b . Mà
+ +
− =
(
+
) (
+
)
(
4a 1,4b 1 1.
+
− =
)
Nếu cả hai số
4a 1
+
và
a b
+
cùng chia hết cho một số nguyên tố p nào đó, thì từ
+ +
−
4a 1 4b 1
chia hết cho
(
a b
+
)
ta suy ra được
4b 1 p
−
, điều này mâu thuẫn với giả
thiết
(
4a 1,4b 1 1
+
− =
)
. Từ đó suy ra
(
4a 1,a b
+
+
)
=
1
.
Ta có
(
4a 1 4b 1 a b
+
)(
+
) (
+
)
và
(
4a 1,a b
+
+
)
=
1
nên suy ra
4b 1 a b
+
(
+
)
.
Ngược lại giả sử a, b là các số nguyên dương thỏa mãn
4b 1 a b
+
(
+
)
Khi đó từ
(
4a 1 4b 1 a b
+
)(
+
) (
+
)
ta suy được
16ab a b
(
+
)
.
Nếu hai số
4a 1
+
và
4b 1
−
cùng chia hết cho p thì p là số nguyên tố lẻ.
Ta lại có
4a 1 4b 1 4 a b a b
+ +
− =
(
+
) (
+
)
, suy ra
4b 1 p .
+
CH
U
Y
ÊN
Đ
Ề
SỐ
H
Ọ
C
Do đó ta được
4b 1 4b 1 2 p
+ −
(
− =
)
, điều này mâu thuẫn với p là số nguyên tố lẻ.
Từ đó ta được
(
4a 1,4b 1 1
+
− =
)
.
Như vậy hai số nguyên dương a, b thỏa mãn
(
4a 1,4b 1 1
+
− =
)
và
16ab a b
(
+
)
tương
đương với hai số nguyên dương a, b thỏa mãn
4b 1 a b
+
(
+
)
.
Chú ý là
4b 1
+
là số lẻ và
4b 1 4 a b
+ <
(
+
)
nên từ
4b 1 a b
+
(
+
)
ta suy ra được
+ = +
=
+
4b 1 a b
a 3b 1
+ =
+
⇔
=
−
(
)
4b 1 3 a b
b 3a 1
Như vậy cặp số nguyên dương
( )
a; b
là
(
c; 3c 1 , 3c 1;c
−
) (
+
)
với
c N
∈
*
.