4 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT VÀ TÍNH CHẤT CỦA SỐ NGUYÊN...
5.4 PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CHIA HẾT VÀ TÍNH CHẤT CỦA
SỐ NGUYÊN TỐ
Phương pháp
Dựa vào đặc điểm của phương trình để phát hiện tính chia hết của một ẩn.
Để chứng minh phương trình không có nghiệm nguyên thì có thể sử dụng tính chất
chia hết: Chỉ ra tồn tại số nguyên m sao cho hai vế của phương trình khi cùng chia cho
m có số dư khác nhau
Trang 29
Nhưng kết quả thường dùng:
Với a thì a
2
chia cho 3 dư 0 hoặc 1, chia cho 4 dư 0 hoặc 1, chia cho 8 dư 0 hoặc 1
hoặc 4; a
3
chia cho 9 dư 0,1,8; a
4
chia cho 16 dư 0,1.
Ta thường sử dụng một số tính chất sau đây của số nguyên tố để giải phương trình
a) Nếu p là số nguyên tố thì a p
n
a p (với nguyên a nguyên).
b) Định lí Fermat nhỏ: Nếu p là số nguyên tố thì a
p
a p với mọi số nguyên dương a .
Đặc biệt nếu ( , ) 1 a p thì a
p
1
1 . p
c) Nếu p là số nguyên tố dạng 4 k 3( k ) thì ( a
2
b
2
) p a p và b p .
Thật vậy nếu a p và b p thì a
2
b p
2
.
Giả sử a không chia hết cho p , do a
2
b p
2
nên b không chia hết cho p . Theo định lí
Fermat nhỏ ta có a
p
1
1 p và b
p
1
1 . p Khi đó
p
p
k
k
k
k
1
1
2
4
2
4
2
2 ( )
2 2
1
( )
2 2
1
2.
a
b
a
b
a
b
Suy ra 2 , p điều này mâu thuẫn với p là số nguyên tố dạng 4 k 3 .
Hệ quả. i) x
2
1 không có ước nguyên tố dạng 4 k 3 với x , k .
ii) Nếu p là số nguyên tố và x
2
1 p thì p có dạng 4 k 1 với k ,
d) Nếu p là số nguyên tố lẻ dạng 8 k 5 hoặc 8 k 7 thì a
2
2 b p
2
a p và a p .
Ví dụ 10. Giải phương trình nghiệm nguyên 4 x 9 y 48.
Giải.
Giả xử x y , là các số nguyên thỏa mãn phương trình đã cho.
Ta thấy 48 và 4x chia hết cho 4 nên 9y chia hết cho 4, mà (9; 4) 1 nên y 4 .
Đặt y 4 t t , thay vào phương trình đầu ta được 4 x 36 t 48
và y 4 t (*). Thay các biểu thức của x y , ở (*) thấy thỏa mãn.
x t
12 9
Vậy phương trình có vô số nghiệm x y ; 12 9 ;4 t t với t .
Ví dụ 11. Tìm những số tự nhiên lẻ n để 26 n 17 là số chính phương.
Giả sử 26 n 17 k
2
(với k tự nhiên lẻ). Khi đó
26 n 13 k 2 k 2 13 2 n 1 k 2 k 2 .
Do 13 12 n 1 13 nên k 2 13 hoặc k 2 13.
t t
Nếu k 2 13 thì k 13 t 2 ( t lẻ), khi đó 13
2
4 1 .
n
2
Nếu k 2 13 thì k 13 t 2 ( t lẻ), khi đó 13
2
4 1 .
n
13
2
4 1
lẻ).
Vậy số tự nhiên lẻ n cần tìm có dạng
2 (
t
Ví dụ 12. Tìm các số nguyên x y z , , sao cho x
4
y
4
z
4
2012.
Giải
Giả sử tồn tại các số nguyên x y z , , thỏa mãn phương trình.
Trang 30
Nhận thấy x y z
4
,
4
,
4
chia cho 16 dư 0 hoặc 1, nên x
4
y
4
z
4
chia cho 16 có số dư là một
trong các số 0, 1, 2, 3.
Trong khi đó số 2012 chia cho 16 dư 12. Hai điều này mâu thuẫn với nhau.
Vậy không tồn tại các số nguyên x y z , , thỏa mãn đề bài.
2
2
2