BỘI VÀ ƯỚC CỦA MỘT SỐ NGUYÊN
2. Tính chất:a) Nếu a là bội của b và b là bội của c thì a là bội của c : a chia hết cho b và b chia hết cho c=> a chia hết cho cb) Nếu a là bội của b thì am cũng là bội của b (với mọi m ∈ Z):Với mọi m ∈ Z : a chia hết cho b => am chia hết cho bc) Nếu a và b là bội của c thì tổng và hiệu của chúng cũng là bội của c :a chia hết cho c và b chia hết cho c => (a + b) chia hết cho c và (a – b) chia hết cho c.Dạng 1: Tìm các bội của một số nguyên cho trước. Phương pháp giải Dạng tổng quát của số nguyên a là a.m (m Z ). Ví dụ: Tìm năm bội của : 3 ; – 3. Giải Cả 3 và -3 đều có chung các bội dạng 3.m (m ∈ Z ), nghĩa là : 0 ; – 3 ; 3 ; -6 ; 6 ; -9 ; 9 ;… Chẳng hạn, năm bội của 3 và – 3 là : 3 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15. Dạng 2: Tìm tất cả các ước của một số nguyên cho trước - Nếu số nguyên đã cho có giá trị tuyệt đối nhỏ, ta có thể nhẩm xem nó chia hếtcho những số nào tìm ước của nó nhưng cần nêu đủ các ước âm và ước dương..- Nếu số nguyên đã cho giá trị tuyệt đối lớn, ta thường phân tích số đó ra thừa sốnguyên tố rồi từ đó tìm tất cả các ước của số đã cho.Ví dụ: Tìm tất cả các ước của – 3 ; 6 ; 11 ; -1. Kí hiệu Ư(a) là tập hợp các ước của số nguyên a, ta có : Ư(-3) = {-1 ; 1 ; – 3 ; 3} hoặc viết gọn là : Ư(- 3) = {±1; ±3} ; Ư(6) = {±1; ±2; ±3; ±6 } ; Ư(11) = {±1; ±11} ; Ư(-1) = {±1}. Bài tập: Tìm tất cả các ước của 36. Dạng 3: Tìm số chưa biết x trong một đẳng thức dạng a.x = b. Trong đẳng thức dang a.x = b (a, b Z , a 0) ta tìm x như sau: b . - Tìm giá trị tuyệt đối của x : x = a- Xác định dấu của x theo quy tắc đặt dấu của phép nhân số nguyên.343= 49 Chẳng hạn: -7.x = -343. ta có : x= 7 Vì tích -343 là số âm nên x trái dấu với -7 vậy x = 49. Ví dụ: Tìm x, biết: a) 15x = – 75 ; b) 3|x| = 18 .Đáp sốa) x = – 5 ; b) |x| = 6 => x = 6 hoặc x = – 6.Dạng 4: Tìm số bị chia, số chia, thương trong một phép chia - Nếu a = b.q thì ta nói a chia cho b được thương q và viết a: b = q.- Nếu a = 0, b 0 thì a :b = 0.Ví dụ: Điền số vào ô trống cho đúng : Giải: Dạng 5: Chứng minh các tính chất về sự chia hết Sử dụng định nghĩa a = b.q a b ( a, b, q Z, b 0) và các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối của phép nhân đối với phép cộng). Ví dụ: Chứng minh rằng nếu a chia hết cho b thì – a chia hết cho b và – b. a chia hết cho b => a = b.q (q ∈ Z ) => -a = b.(-q) .Do -q ∈ Z nên -a chia hết cho b. Ta cũng có : -a = -b.q nên -a chia hết cho -b. Bài tập: Chứng minh rằng với mọi số nguyên m và n, nếu a và b chia hết cho c thì am + bn chia hết cho c. Dạng 6: Tìm số nguyên x thỏa mãn điều kiện về chia hết. Áp dụng tính chất: Nếu a+b chia hết cho c và chia hết cho c thì b chia hết cho c. Ví dụ: Tìm x ∈ Z sao cho : a) 3x + 2 chia hết cho x – 1 ;b) x
2
+ 2x – 7 chia hết cho x + 2.Giảia) Ta có : 3x + 2 = 3x – 3 + 5 = 3(x -1) + 5.3(x – 1) chia hết cho x – 1. Do đó 3x + 2 chia hết cho x – 1 khi 5 chia hết cho x -1, tức là x – 1 là ước của 5. Ước của 5 gồm các số ±1, ± 5. Suy ra x ∈ {0 ; 2 ; – 4 ; 6}. b) x2
+ 2x – 7 = x(x + 2) – 7 . Ta tìm x để 7 chia hết cho x + 2.Đáp số : x ∈ {-3 ; — 1 ; — 9 ; 5}.Bài tập: