4TRANG 2 CHỨNG MINH
7.
4
Trang 2
Chứng minh:
Giả sử tồn tại các số nguyên dương x y z t , , , thỏa mãn đồng thời các đẳng thức
1 , 2 , 3 , 4 . Trừ từng vế các đẳng thức này ta được:
1000
x y , y z 900 , z t 80 .
Suy ra x y z t , , , có cùng tính chẵn lẻ.
Nếu x y z t , , , cùng tính chẵn thì x xyzt là số chẵn, mâu thuẫn với (1).
Nếu x y z t , , , cùng lẻ thì x xyzt vẫn là số chẵn, mâu thuẫn với (1).
Điều này chứng tỏ giả sử trên là sai. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu n là số nguyên dương thì số 2010
n
1 không chia hết cho
1000
n
1 .
Giả sử với n là số nguyên dương thì 2010
n
1 chia hết cho 1000
n
1 .
Khi đó, do 1000
n
1 chia hết cho 3 nên 2010
n
1 chia hết cho 3. Điều này là vô lí vì
2010
n
1 không chia hết cho 3. Vậy điều giả sử 2010
n
1 chia hết cho 1000
n
1 là sai.
Suy ra 2010
n
1 không chia hết cho 1000
n
1 .
Ví dụ 5: Chứng minh: nếu a a
1
, ,...,
2
a
n
là một hoán vị tùy ý của các số 1, 2,..., n với n là số
lẻ, thì tích a
1
1 a
2
2 ... a
n
n là một số chẵn.
Đầu tiên, ta có nhận xét rằng tổng của một số lẻ các số lẻ là một số lẻ. Để chứng minh
bài toán ta chỉ cần chứng minh rằng tồn tại một hiệu a
k
k nào đó là số chẵn. Giả sử
rằng tất cả các hiệu a
k
k đều là số lẻ. Khi đó tổng S a
1
1 a
2
2 ... a
n
n 0,
vì các số a
k
là sắp xếp lại của các số 1, 2,..., n . Nhưng theo nhận xét trên thì S là số lẻ vì
tổng của một số lẻ các số lẻ. Điều này mâu thuẫn. Do đó giả sử tất cả các hiệu a
k
k là
số chẵn, suy ra tích a
1
1 a
2
2 ... a
n
n là số chẵn.
Có nhiều cách chứng minh về sự tồn tại vô hạn các số nguyên tố, ví dụ sau đưa ra cách
chứng minh bằng phản chứng của Euclid cho kết quả này.
Ví dụ 6: Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số nguyên tố.
Giả sử chỉ có hữu hạn các số nguyên tố là p p
1
,
2
,..., p
n
và giả sử p
1
p
2
... p
n
. Xét tích
A p p p . Rõ ràng A p
n