1/ / 0 13 1, 11 PHÉP CHỨNG MINH CỦA TA HOÀN TẤT

1/ 10 13 1 1 # 1 ? 1/ / 0 13 1, 11 Phép chứng minh của ta hoàn tất. L

ỜI

G

IẢI

3 (VIMF). ðặt /, 0, 1. Do a b c≤ ≤ ^nênx≥ ≥y z + + = + + ⇔ + + = + + ⇔ + + = + +Ta có 1 1 1

²

²

²

a b c ab bc ca a bc ab c abc x y z xy yz zxa b cab bc b x zVà bất ñẳng thức cần chứng minh ñược viết lại là 1 zx 1+ ≥ + ⇔ + ≥ y + ( )

2

x y zChú ý rằng x≥ ≥y z nên 3 3 1x+ + =y z xy+yz+ ≤zx + + ⇒ ≤ + + ≤x y z x⇒x≥3Bây giờ ta xét 2 trường hợp Trường hợp 1. Nếu z≥1 thì ta chỉ cần chứng minh zxx≥ yMà dox≥ ≥y z và x≥1 ^{nên x 1.x zx}≥ ≥ yTừ ñó ta có ñiều phải chứng minh Trường hợp 2. Nếu z≤1= + −x z xzy x zTừ x+ + = + +y z xy yz zx^{, suy ra} + − . Do ñó 1+ ≥ + ⇔ + − ≥ + − ⇔ + − ≥ ⇔ + − + − ≥( 1)zx xz x z xz1 1 1 ( 1)( )x z x z x z x z x z xz xz+ − + −y x z xz x z xz⇔ + − + + ≥ ⇔ + + − − ≥ ⇔ + − − ≥(x z)

2

(x z xz)( 1) 0 (x z x)( z xz 1) 0 (x z x)( 1)(z 1) 0Bất ñẳng thức trên ñúng dox≥ ≥1 zVậy ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi / 0 1 1 hay 1. B

ÀI

O 9. Cho các số thực dương , , thỏa mãn

3. Chứng minh rằng 82 2 2 T

^RẦN

Q

^UỐC

L

^UẬT

- MIC Staff 2009 L

ỜI

G

^IẢI

1 (MIC Staff). Giả sử <O= P, , Q, suy ra 0 t ? 1. Ta có các ñánh giá sau 22 2 8 4 2 8 4

4

2

4

1

,This file was downloaded from the

Olympiad Resources Page 9 http://www.vimf.tk/ http://www.vimf.cọcc/ ?

4

1

4 ?

123

1

2 ? 3

1, ?

2 3 2

2 3