1 / 02 0 1 // 0 1 3 2/0 01 1/VÌ /01 1 NÊN BẤT ÑẲNG THỨC N...

2 .1 / 02 0 1 //

0

1

3 2/0 01 1/Vì /01 1 nên bất ñẳng thức này có thể viết lại thành /

0

1

2/01 1 2/0 01 1/ðây là một bất ñẳng thức khá quen thuộc. B

ÀI

O 4. Cho , , là các số thực không âm sao cho 1. Chứng minh rằng

3

3

3

2a + +a b + +b c + ≥c a+ +b cIran TST 2008 L

ỜI

G

IẢI

1 (Albanian Eagle). Bất ñẳng thức cần chứng minh ñược viết lại thành E E 2I Áp dụng bất ñẳng thức JK=LK= ñối với hàm M/

_√8

^*

ta có E N

Do ñó ta chỉ cần chứng minh

2 4

Không mất tính tổng quát, giả sử <O= P, , Q. Khi ñó bất ñẳng thức trên ñược viết lại thành

0Bất ñẳng thức này hiển nhiên ñúng do <O= P, , Q. Vậy, ta có ñiều phải chứng minh. L

ỜI

G

IẢI

2 (VIMF). Theo bất ñẳng thức O=R>/SO ta có

3

3

3

3

3

3

( ) ( ) ( )a + +a b + +b c + =c a +a ab bc+ +ca + b +b ab bc+ +ca + c +c ab bc+ +ca

( ) (

²

)

²

= + + + + + + + + + + + ≥

∑

+ + +

2

( )

2

( )

2

( ) 3a a b c abc b a b c abc c a b c abc a a b c abc

(

^{a b c}

)

³

^9abc= + + + . Do ñó ta chỉ cần chứng minh

(

^{a+ +b c}

)

³

^+9abc≥2

(

^{a+ +b c ab bc}

)(

^{+ +ca}

)

^⇔

∑

^a

³

^+3abc≥

∑

^{a b c}

²

^{( + ).} ðây chính là bất ñẳng thức TU . Vậy bài toán ñược chứng minh . This file was downloaded from the

Olympiad Resources Page 4 http://www.vimf.tk/ http://www.vimf.cọcc/   ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi , , 1 1 1; ;  hoặc 1; 1; 0 và các hoán vị. 3 3 3B

ÀI

O 5. Cho các số thực dương , , . Chứng minh rằng

2

2

2 9 APMO 2004 LỜI GIẢI 1. ðặt W

⁹⁾⁽

. Khi ñó

2

2

1 2

2

3 2 2

2

3

332

3Và do ñó ta chỉ cần chứng minh

2 232

33 9 # X

2Y2

6 Theo bất ñẳng thức Z[=\OR>/SO thi X

2Y2

]√2 √2^

2

6 Và trường hợp rút ra ñược ñiều phải chứng minh. L

ỜI

G

IẢI

2. Ta sẽ chứng minh bất ñẳng thức chặt hơn

2

2

2 3

1

với mọi số thực dương , , C

HỨNG

M

INH

. Bất ñẳng thức trên tương ñương với 2

4

2 7 9 Theo bất ñẳng thức AM−GM thì 2

2 2

2 2

2 4 4 4Và 3

3

3

3 3 3Nên ta chỉ cần chứng minh

2 1 2 Theo nguyên lí Dirichlet thì 2 trong 3 số 1, 1, 1 cùng dấụ Không mất tính tổng quát, giả sử 1 1 0 thì 2 1 1 0 ' 2 2 2 2 . Do ñó ta chỉ cần chứng minh

1 2 2 #

1

0 Bất ñẳng thức trên luôn ñúng. Vậy ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1.ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1L

^ỜI

G

^IẢI

3 (VIMF). Ta sẽ chứng minh bất ñẳng thức chặt hơn bài toán ban ñầu nhưng trong phạm vi rộng hơn với bài toán trong lời giải 2.

2

2

2 3

với mọi số thực , , C

^HỨNG

M

INH

. Bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với 2

8 6 Theo nguyên lí Dirichlet thì

1

1 0 '

. Do ñó ta chỉ cần chứng minh 2

6 4 # 1

1

1

0Vậy, ta có ñiều phải chứng minh. ñẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ` 1B

ÀI

O 6. Cho các số thực /, 0, 1 sao cho / 0 1 /0 01 1/. Tìm giá trị nhỏ nhất của x y zP= x +y +z

2

1

2

1

2

1+ + +Brazilian Math Olympiads Page 5 = 1L

^ỜI

G

^IẢI

1 (V

Õ

Q

^UỐC

B

Á

C

^ẨN

). Cho / 0 1 và 1 1 thì −P 2 , và ta sẽ chứng minh giá trị − , tức là chứng minh nhỏ nhất của a là 12

2

2

2

− + + −x y z x y z1 ( 1) ( 1) ( 1)+ + ≥ ⇔ + ≥

2

2

2

2

2

2

+ + + + + +1 1 1 2 1 1 1Từ ñiều kiện / 0 1 /0 01 1/ ta có z x( + − = + −y 1) x y xy. Chú ý rằng ta không thể có x+ =y 1, bởi vì nếu ngược là x+ =y 1, thì x+ −y xy=0 hay /0 1, ( )

2

1= + −x y xyx y≤ = (ñiều này vô lí) nên x+ ≠y 1và ta cóz x ymàxy ++ −14 4+ + −( 1) ( 1) ( 1)Nên ta chỉ cần chứng minh + ≥

2

2

2

2

+ + + − + + −1 1 ( 1) ( )x y x y x y xyTheo bất ñẳng thức b[\0 c\de1 thì

[ ]

²

+ − + + −(1 )(1 ) (1 )(1 )x y y x( 1) ( 1) 4( 1)+ ≥ =

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

+ + + − + + − + − + + −1 1 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )x y x y y x x y y x4(x+ −y 1) +4(x+ −y xy) ≥(1+x )(1−y) +(1+y )(1−x)⇔ = − + − − + + − + ≥( ) ( 3 3) (3 8 3) 3 3 1 0f x y y x y y x y yMà ta có △

_f

=(3y

²

−8y+3)

²

−4(y

²

−3y+3)(3y

²

−3y+1)= −3(y

²

−1)

²

≤0 nên f x( )≥0Vậy ta có ñiều phải chứng minh. L

ỜI

G

IẢI

2 (VIMF). ðặt >, f, e, từ giả thiết ta có > fCũng như dự ñoán trong lời giải 1 ta sẽ chứng minh giá trị nhỏ nhất của a là

^*

và ta chứng minh − + − + −1 3 1x y z qr pq r p+ + ≥ ⇔ ≥+ + + + − + − +1 1 1 2 2 2 1 2x y z r p q q pr# 2>e >

3e > e

2>

2> 2>e 1 0 # e

6e 4>

1 0Từ bất ñẳng thức ñúng

0ta thu ñược

6 #

2 2 6 # 2>

6e 2>e 2>Và do ñó e

6e 4>

1 e

6e 2>

1 2>

e

6e 2>

1 6e 2>e 2> e >

> 1

0Phép chứng minh hoàn tất. B

ÀI

O 7 . Cho a,b,c là các số dương và x,y,z là ñộ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng + − + + − + + − ≤ + +z x y y z x x y zab ca bc a b cz y xMIC Staff 2009 – T

^RẦN

Q

^UỐC

L

^UẬT

L

^ỜI

G

^IẢI

1 (MIC Staff). Sử dụng bất ñẳng thức ! ta có I1 / 01 I0 1 /0 h0 √ gI1 / 01 I0 1 /

? 14 gI1 / 0Page 6 Nên ta chỉ cần chứng minh ñược I/ 0 11 1? ,4 gI1 / 01 I0 1 /24 1 / 00 3 2 i2I/ 0 101 j √./ I1 / 00 1 /1 3 24 0 1 /Chú ý rằng 4 ^;)8G:

_;

k 0 và 4

^:);G8

_:

k 0 nên sau khi áp dụng bất ñẳng thức !, ta chỉ cần chứng minh bất ñẳng thức sau .24 1 / 001 j1 3 24 0 1 /0 3 i2I/ 0 1Bất ñẳng thức này tương ñương với bất ñẳng thức sau / 0 11 1 / 01 0 1 /0 I/ 0 10 1 /1 / 0/01 ? 4ðặt < 0 1 /, = 1 / 0, > / 0 1 thì <, =, > là các số dương và bất ñẳng thức trên trở thành << == >> << == >> < ? 2 #<=

=>

><

<=>< > == < >> = I 2<=> I 2<=>< == >> < # <=

=>

><

<=> E2<=>< == >> <Bình phương 2 vế của bất ñẳng thức này ta ñược bất ñẳng thức tương ñương là <

=

^l

=

>

^l

>

<

^l

3<

=

>

Bất ñẳng thức này hiển nhiên ñúng theo bất ñẳng thức ! 3 số. L

ỜI

G

IẢI

2 (MIC Staff). Giả sử rằng /, 0, 1 là ñộ dài 3 cạnh cảu tam giác Zb. Khi ñó