1% I1. 2.I 6 . 33 41 2 3 5CỘNG CÁC BẤT ÑẲNG THỨC...

3,

%

? 1

%

I1. 2.I 6 . 33 41 2 3 5Cộng các bất ñẳng thức này về theo vế ta thu ñược ñiều phải chứng minh. B

ÀI

ST 3. Cho các số thực dương , , . Chứng minh rằng 2 1 13 2 1 13 2 1 13 3Vasile Cirtoaje L

^ỜI

G

^IẢI

. ðặt /

₉

^*

, 0

^*

₍

, 1

^*

₇

thì bất ñẳng thức ñược viết lại thành / 10 1 0 11 1 1 1/ 1 3Theo nguyên lí ˆOeO\†KW thì 2 trong 3 số / 2, 0 2, 1 2 cùng dấụ Không mất tính tổng quát, giả sử/ 20 2 0 ' /0 4 2/ 20 ' 2/ 0 1 ? 21 /0 4 1 Lại có /01 1 / 0 1 2 / 0 1 2 2E/0 1 ' 1/0 1 2]E/0 1^' 1]E/0 1^ 2 ' 4 21 2E01. 1/ ? 01 1/ 2Từ 1 và 2 ta suy ra 2/ 0 1 ? 21 /0 4 ? /0 01 1/Vậy, ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi / 0 1, hay 1B

ÀI

ST 4. Cho , , là ñộ dài 3 cạnh của một tam giác sao cho

3. Chứng minh rằng 2N

^GUYỄN

A

NH

T

^UẤN

L

^ỜI

G

^IẢI

(VIMF). ðặt > , f , e thì

3 # >

2f 3 # f

^‰

^s

^GF

Do , , là ñộ dài 3 cạnh của một tam giác nên ta có một bất ñẳng thức quen thuộc là 2

^F

^F

^F

9 # 3

18 # 3>f 3> 18e #>>

32 > 6e' e ?>

^F

3>12 >Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với 6 > e 2Theo bất ñẳng thức trên thì ta chỉ cần chứng minh >

^F

3>6 ? > 2 # >

^F

17> 24 ? 0 # > 3 y> 3 √412 z y> √41 32 z ? 0Từ giả thiết

3 suy ra E

? ? E3

' √3 ? > ? 3Chú ý rằng √3 k

^√l*GF

nên bất ñẳng thức trên là hiển nhiên ñúng Vậy, ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi . B

ÀI

ST 4. Cho , , là ñộ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh

0,8

0,8

0,8

     a b c+ + ≥

0,2

     + + +

2

2

2

3     8 8 8a bc b ca c abL

^ỜI

G

^IẢI

(VIMF). Theo bất ñẳng thức ! 10 số ta có This file was downloaded from the

Olympiad Resources Page 18 http://www.vimf.tk/ http://www.vimf.cọcc/

8

8

   + + + + + + ≥  +  ⇒ + + ≥  + 

2

2

2

2

2

8 8 8 8 8 6 8a bc a bc a bc a bc a a bc... 1 1 10. 10.

10

10

   3 3 3 3 3a a a a a   

8

numbers

Hay

0,8

 a a a3 3 .10 15≥ = + + + + +

2

2

2

  ; a bc a bc a a bc a8 8 8 6 4 8 3Và tương tự ta có 153 15b bc c≥,  .

2

2

 c ab c ab cb ca b ac b8 4 8 3Do ñó 3 3 3+ +15 15 15≥ + ++ + + + + +a bc a b ac b c ab c4 8 3 4 8 3 4 8 3= + +

( ) ( ) ( )

2

2

2

2

2

2

2

2

2

a a bc a b b ac b c c ab c

2

15( )

( ) ^{( )}

Schwarz( )+ + + + + + + +

3

3

3

2

2

2

a a abc b b abc c c abc a b c4 8 8 8 3Bunhiacopxki

( ) ( )

+ + + + + + + +4 ( ) 24 3a b c a b c abc a b cDo ñó ta chỉ cần chứng minh 3

(

²

²

²

) (

³

³

³

)

2 a +b +c +10(ab+bc+ca)≥4 (a+ +b c a) + + +b c 24abcDo , , là ba cạnh của một tam giác nên ñặt / 0; 0 1; 1 /. Ta có *

(

^{a+ +b c}

)

²

⁼⁴

(

^{x+ +y z}

)

²

^=4p

²

^{(p= + +x y z);} * ^{ab+bc+ca= + +}

(

^{x y z}

)

²

^+xy+yz+zx=p

²

^{+q q( =xy+yz+zx);} * abc= + +(x y z xy)( + +yz zx)−xyz= pq r− (r=xyz) * ^a

³

^{+ + +b}

³

^c

³

^24abc=

(

^{a+ +b c}

)

³

^{−3(a+ +b c ab)( +bc+ca)+27abc=}= − + + − = + −

3

2

3

8p 3.2 (p p q) 27(pq r) 2p 21pq 27rDo ñó ²

(

^a

²

^+b

²

^+c

²

)

^{+10(ab+bc+ca)≥4 (a+ +b c a)}

(

³

^{+ + +b}

³

^c

³

^24abc

)

(

^4p

²

^{3 p}

²

^q

)

^{2 2p}

(

^2p

³

^{21pq 27r}

) (

^7p

²

^3q

)

²

^4.2p

(

^2p

³

^{21pq 27r}

)

( )

⇔ + + ≥ + − ⇔ + ≥ + −⇔ + + ≥

4

2

2

33p 9q 216pr 126p qMà theo bất ñẳng thức c\[e thì

(

^x+ +^{y z}

)

³

+^9xyz≥^4(x+ +^{y z xy)(} +^yz+^xz)⇔ ^p

³

+^9r≥^4pq⇔^31,5p

⁴

+^283,5pr≥^{126p q}

²

. Nên ta chỉ cần chứng minh 1,5p

⁴

+9q

²

≥67,5prDễ thấy bất ñẳng thức trên ñúng theo bất ñẳng thức b[\0 Z[=\OR>/SOVậy ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .Page 19 B

ÀI

ST 5. Cho các số thực không âm , , . Chứng minh bất ñẳng thức + + + ≥ + + + + +

3

3

3