A B B C C A 3 ( ) ( ) ( )A B C ABC A B C ABC AB A B BC B C CA C A+...

3 .a b b c c a 3 ( ) ( ) ( )a b c abc a b c abc ab a b bc b c ca c a+ +

2

2

2

ab bc caNếu a b c≤ ≤ thì bất ñẳng thức ñưa về dạng − − −6 ( )( )( )

∑

2

= − + − − ≥f a b c a b a b c( , , ) ( ) ( ) abc a b b c c a 0

(

^ab

²

^bc

²

^ca

²

)

^{(a b)}

²

^{6abc a( b b)( c c)( a)}⇔ + +

∑

− ≥ − − −Mà (a b− )

²

≥4(b c c a− )( − ) và ⁴

(

^ab

²

^+bc

²

^+ca

²

)

^{≥6bc a( − ⇔b) 2}

(

^ab

²

^+bc

²

^+ca

²

)

^{+3b c}

²

^≥3abc, hiển nhiên ñúng nên ta chỉ cần chứng minh bất ñẳng thức trong trường hợp 0Hay cần chứng minh b b c

²

( − + −) (b c) (

²

b c+ +) c c b

²

( − ≥ ⇔) 0 2(b c b c+ )( − )

²

≥0Bất ñẳng thức trên hiển nhiên ñúng. Vậy ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc , 0 và các hoán vị. B

ÀI

ST 6. Cho các số thực không âm , , sao cho không có 2 số nào cùng bằng 0. Chứng minh 1

₂

1

₂

1

₂

1+ + + + +(a 2 )b +(b 2 )c +(c 2 )a ≥ ab bc caP

HẠM

K

IM

H

ÙNG

Về Kĩ thuật phân tích bình phương cho bất ñẳng thức hoán vị

T. w. Š

các bạn có thể xem thêm trong Chuyên ñề bất ñẳng

thức THPT của Diễn ðàn Bất ðăng Thức Việt Nam www.vimf.cọcc/

This file was downloaded from the

Olympiad Resources Page 20 http://www.vimf.tk/ http://www.vimf.cọcc/ L

^ỜI

G

^IẢI

(V

Õ

Q

^UỐC

B

Á

C

^ẨN

). Ta xét 2 trường hợp Trường hợp 1. Nếu 4(ab bc ca+ + )≥ + +a

²

b

²

c

²

thì + + +1 1 1 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )a c b a c b+ + = + ++ + + + + + + + +

2

2

2

2

2

2

2

2

2

( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )a b b c c a a b a c b c b a c a c b≥ + +a b c9( )( )Schwarz+ + + + + + + + .

2

2

2

2

2

2

( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )a b a c b c b a c a c bTa chứng minh

( ) (

²

)

²

²

( ) (

²

) ( )

⁴

( )

²

9

∑

a

∑

ab ≥

∑

(a+2 ) (b a+2 )c ⇔9

∑

a

∑

ab ≥

∑

a +18

∑

ab

(

^a

²

^ab

)(

^{4 ab a}

²

)

⁰⇔

∑

−

∑ ∑

−

∑

≥ ^{(ñúng do 4(ab bc ca}+ + ⁾≥ + +^a

²

^b

²

^c

²

) Trường hợp 2. Nếu a

²

+ + ≥b

²

c

²

4(ab bc ca+ + ). Không mất tính tổng quát, giả sử </P, , Q. Ta chứng minh a≥2(b c+ ). Bất ñẳng thức này ñúng bởi vì nếu ngược lại a≤2(b c+ ) thì 4( ) ( 2 2 ) ( ) ( ) 4 0a + + −b c ab bc ca+ + =a a− −b c +b b a− +c c a− − bc≤Trở lại bài toán, theo bất ñẳng thức ! ta có 1

₂

1

₂

2+ + + + nên ta chỉ (a 2 )b +(b 2 )c ≥(a 2 )(b b 2 )c( 2 2 ) 0cần chứng minh 2 1+ + + + (ñúng do a≥ +2b 2c) ( 2 )( 2 ) b a b ca b b c ≥ab bc ca⇔ − − ≥Vậy ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a= =b c^. B

ÀI

ST 7. Cho các số thực không âm , , . Chứng minh rằng 4

VIMF L

ỜI

G

IẢI

(VIMF). Xét

^F

^F

^F

3

F

F

F

F

F

F

^F

^F

^F

^F

2 1 3

2 1 3 1

Bây giờ ta có . y

z .

4

Phép chứng minh hoàn tất. Page 21 BÀI ST 8. Chứng minh rằng với mọi , , không âm ta có 1

1

1 2D

ƯƠNG

ð

ỨC

L

ÂM

L

^ỜI

G

^IẢI

1 (VIMF). Ta xét 2 trường hợp Trường hợp 1. nếu

? 4 thì theo bất ñẳng thức quen thuộc

1

1

9

nên ta chỉ cần chứng minh 9

1ñặt /

, 0 thì bất ñẳng thức ñược quy về 9/ # 9/0 / 20

# / 0/ 40 ? 00 2/ 20 1do / 0 và theo giả thiết ở trên / ? 40 ta suy ra bất ñẳng thức trên ñúng Trường hợp 2. nếu

4 thì suy ra 2

? 12 suy ra