A B B C C A 3 ( ) ( ) ( )A B C ABC A B C ABC AB A B BC B C CA C A+...

3 .a b b c c a 3 ( ) ( ) ( )a b c abc a b c abc ab a b bc b c ca c a+ +

2

2

2

ab bc caNếu c b≥ ≥a thì bất ñẳng thức ñược viết lại như sau  + + + + − +  − ≥ + + + + + −

3

3

3

3 3 . a b b c c a 1 ( ) ( ) ( ) 6a b c abc abc ab a b bc b c ca c a abc − − −

(

²

²

²

)

²

²

²

²

²

²

1 3 ( )( )( )abc a b b c c a⇔ + + − + − + − − ≥ − + − + −( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b c a b b c c a a b c b c a c a b2abc a b b c c a1 1 1 3 ( )( )( )⇔ + − − + + − − + + − − ≥a b c a b b c a b c c a b c a( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2Theo tiêu chuẩn 1 trong Kĩ thuật phân tích bình phương cho bất ñẳng thức hoán vị T. w. Š thì ta chỉ cần chứng minh + + − − − ≥3 ( )2 abc c a 0ac c a bQuy ñồng, rút gọn và nhóm các số hạng lại với nhau ta ñược bất ñẳng thức tương ñương là

( )

2

2

2

2

2

2

2

3

2

2

2

2bc ac− +a ab c( − +b) bc c( − +b) a c +a b +a c+2ab ac+2ca ac+2a bc≥0Bất ñẳng thức trên ñúng do c b≥ ≥aVậy ta có ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ba biến bằng nhua hoặc một trong 3 biến bằng 0 và 2 biến còn lại bằng nhaụ L

ỜI

G

IẢI

2 (dangtrung). Nếu a≥ ≥b c thì theo bất ñẳng thức TU ta có + + + ≥ + + + ≥ + + + + +

3

3

3

3

3

3