8. 3 3 2. 3 3 2

8 . 8. 3 3 2. 3 3 2?18 28 3 3 2 3 3 23 3

^F

2

Suy ra 2

? 23 3 2

Nên từ ñây ta dễ dàng suy ra ñược ñiều phải chứng minh. L

ỜI

G

IẢI

2

(

MIC Staff). Ta viết bất ñẳng thức cần chứng minh lại thành 2 3 3 2

Sau khi phân tách và thu gọn ta thấy bất ñẳng thức có dạng tương ñương là 2 21 1 13 3 3 2

ðến ñây áp dụng bất ñẳng thức b[\0 c\de1, ta thấy rằng 3

3 3 2

3 3 2

Phép chứng minh của ta hoàn tất. L

ỜI

G

IẢI

3 (VIMF). Chuẩn hóa 1. Khi ñó bất ñẳng thức cần chứng minh ñược viết lại ? 1

1 1 13

?1 1 3

# 1 1Theo bất ñẳng thức b[\0 c\de1 thì 1 11 1 11 ? 1 4 11 4 1 1

Do ñó ta chỉ cần chứng minh 1 1

? 1

Hay 1

^F

3

# 3 1

0Bất ñẳng thức trên hiển nhiên ñúng. Vậy ta có ñiều phải chứng minh. B

ÀI

O 11. Cho các số thực dương , , , /, 0, 1. Chứng minh rằng + + ≤ + +( )

2

bcx cay abz a b c+ + + + + + + +( )( ) ( )( ) ( )( ) 4( )x y x z y z y x z x z y x y zðề Thi Tài Năng Toán Học Trẻ THPT – http://www.truongtructuyen.vn L

ỜI

G

^IẢI

. ðặt m= +x y n, = +y z k, = +z x thì bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với + − + + − + + − ≤ + +( ) ( ) ( ) ( )

2

bc m k n ca m n k ab n k m a b c+ +mk mn nk m n k+ − + + − + + − +

2

2

2

2

2

2

2

2

2

bc m k n mk ca m n k mn ab n k m nk⇔ + + ≤ + +( 2 ) ( 2 ) ( 2 )

2

( )a b cmk mn nk+ − + − + −( ) ( ) ( )bc m k n ca m n k ab n k m

2

2

2

a b cNhưng từ cách ñặt uvO trên thì ta thấy ngay <, =, S là ñộ dai 3 cạnh của tam giácABC. Nên bất ñẳng thức trên có thể viết lại thành This file was downloaded from the

Olympiad Resources Page 11 http://www.vimf.tk/ http://www.vimf.cọcc/ 2bccosA+2cacosB+2abcosC≤ + +a b cBất ñẳng thức này là một bất ñẳng thức ñã quá quên thuộc. Vậy ta có ñiều phải chứng minh. B

ÀI

O 12. Cho , , là các số thực dương. Chứng minh bất ñẳng thức

(

²

²

²

)

ab bc ca 3c + a + b ≥ + +Pháp 2005 L

ỜI

G

IẢI

1.Theo bất ñẳng thức ! ta có

2

 + +  ≥  + + = + +

( )

ab bc ca ab bc bc ca ca ab3 3      c a b c a a b b cNên từ ñây ta suy ra ngay ñiều phải chứng minh. L

^ỜI

G

^IẢI

2 (VIMF). Ta sẽ chứng minh bất ñẳng thức chặt hơn là + + +

2

2

2

2

2

2

+ + ≥ + + ≥ + +ab bc ca a b b c c a 3c a b a b b c c aTrước tiên ta chứng minh + + + + + ≥ + +a b b c c a 3a b b c c aBất ñẳng thức trên tương ñương với  + − + ≥ + + − + +

2

2

a b a b

∑

a b c a b c 3 ( ) + 2a b1 1= −Ta ñưa về dạng T. w. T với 2( ) 3 ;+ + + + + +S

a

b c a b c a b c+ + + + + + ^S

^c

^{=2(b1+a)− 3}

(

^a

²

^+b

²

^+1c

²

)

^{+ + +a b c.} S

b

a c a b c a b cDễ thấy các S S S

_a

,

_b

,

_c

ñều dương nên bất ñẳng thức trên ñúng. Tiếp theo ta chứng minh ab bc ca a b b c c a+ + ≥ + +Bất ñẳng thức này tương ñương với   − ≥  − ab a b a b a b

∑ ∑

^.   +c a b2 2= − = − = −S S STa cũng ñưa về dạng T. w. T với 1 1 1; ;+ + + .

a

b

c

bc b c ac a c ab b aKhông mất tính tổng quát, giả sử a b c≥ ≥ thì theo bất ñẳng thức ! ta có 1 1 1 1 2 1 1a c a c a c+ = + − − ≥ − − = − − = + >