CÁC BẠN GỬI BÀI ÑẾN NHỚ ÑỂ LẠI TÊN TUỔI, NICKNAME ÑỂ CHÚNG TÔI TIỆ...

6. Các bạn gửi bài ñến nhớ ñể lại tên tuổi, nickname ñể chúng tôi tiện cập nhật thông tin Cuối cùng, xin lưu ý rằng chúng tôi thực hiện tập san này một cách nghiêm túc vì mục ñích giáo dục. Vì thế, chúng tôi hi vọng rằng các bạn cộng tác cũng phải thật sự nghiêm túc và có trách nhiệm ñối với mỗi bài viết của mình ñể góp phần hoàn thiện tập san nàỵ Các bạn tham gia tích cực sẽ ñược hưởng ưu ñãi từ diễn ñàn. Xin chân thành cảm ơn Copyright © 2009 by VIMF Tập san này cùng với file ñi kèm ñược tạo ra vì mục ñích giáo dục. không ñược sử dụng ebook này dưới bất kì mục ñích thương mại nào, trừ khi ñược sự ñồng ý của tác giả. Mọi chi tiết xin vui lòng liên hệ http://www.vimf.cọcc/ This file was downloaded from the

Olympiad Resources Page 1 http://www.vimf.tk/ http://www.vimf.cọcc/

B B B

Bấtttt ðẳng ng ng ng Th Th Th Thức c c c T T Từ Nh T Nh Những Nh ng ng ng Cu Cu Cu Cuộc c c c Thi Thi Thi Thi

B

ÀI

O 1. Cho các số thực dương , , sao cho 1. Chứng minh rằng 1 3

3 1

3 1

3UK TST 2005 = = = L

ỜI

G

IẢI

1 (VIMF). Do 1 nên ñặt y, z, xa b cx y zBất ñẳng thức ñược viết lại như sau + + + + + ≥

2

2

2

3 3 3x xy y yz z zx( ) ( ) ( ) 3+ + +x y y z z x −   −   −  3 1 1 1⇔  +  + +  + +  + +  +     4  + − − + − − + − − 

2

2

2

2

2

2

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x y x y y z y z z x z x+  + + + + + ≥4 ( ) ( ) ( ) 3Hay  −   −   −   − − −  − − −3( )( )( )x y y z z x x y y z z x x y y z z x+ + ≥ − + + =3 ( )( )( )       + +  +  + + + + + +     + Nếu (x−y y)( −z z)( − ≤x) 0 thì bñt trên hiển nhiên ñúng. + Nếu (x−y y)( −z z)( − ≥x) 0thì theo bất ñẳng thức ! ta có

2

2

2

2

 −   −   −   − − − x y y z z x x y y z z x+ + ≥

3

( )( )( )+ +  +  + + +− − −x y y z z x≤ ⇔ + + ≥Nên ta chỉ cần chứng minh ^{( )( )( ) 1 2}

(

²

²

²

)

⁰x y y z z x+ + + (luôn ñúng). ( )( )( )Vậy ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1. L

ỜI

G

IẢI

2 (VIMF). Trước tiên ta chứng minh 2 bổ ñề sau B

Ổ

ð

Ề

1. 11 11 21 1B

^Ổ

ð

^Ề

2. 1 1

1 1 11

1Chứng minh Bổ ñề 1. Bất ñẳng thức tương ñương với 3 2 2 3 1 #

1Mà theo bất ñẳng thức ! thì

3√

^%

3Vậy Bổ ñề 1 ñược chứng minh. Chứng minh Bổ ñề 2. theo nguyên lí ðirichlet thì 2 trong 3 số 1, 1, 1 cùng dấu, không mất tính tổng quát giả sử 1 1 0 '

^()*

₍

1 . Ta có 1 # 1

0 đúng1

1nên 1

1 11 Do ñó Page 2 1 1 1 1 1 1Vậy Bổ ñề 2 ñược chứng minh. Trở lại bài toán. Bất ñẳng thức ñã cho tương ñương với 1

2 1

3Mà theo bổ ñề trên ta có 1

2 1 1 2 1 3Vậy ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1N

^HẬN

X

ÉT

. Từ lời giải trên ta có thể làm chặt bài toán bằng giả thiết 3 ' 1. Các bạn hãy thử làm xem B

ÀI

O 2. Cho các số thực dương , , và /, 0, 1 sao cho / 0 1 1. Chứng minh /01 211 10 1/3 3Russia 2002 L

ỜI

G

IẢI

1. Ta có / 1/ /0 01/3 1 0 / 3 41/ /5 401 15 4/0 051 5 20 3 4 / 0 1 / 1 / 0 6Theo bất ñẳng thức ! 2 số thì 0 0 2