SAI LẦM TRONG CHỨNG MINH ĐIỀU KIỆN 2 VD1
x
Lời giải sai : x +x
=
x
2
+2 x
1
2
1
4
1
4
x
1
2
2
1
4
1
4
. Vậy: Min A =1
4
P/tích sai lầm: sau khi c/m f(x)
1
4
1
x
2
(vô lí )
4
chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x)=1
Lời giải đúng: ĐKTTx
làx
0
do đó : A = x +x
0
=> Min A = 0
x
0
VD2: Tìm GTLN củaA = xyx z+y
y+z z+x
với x, y , z là các số không âm và x +y+ z =1
2
4x z+y
x+y+z
1
Lời giải sai: Áp dụng BĐT4xy
x
y
2
ta có :4y z+x
x+y+z
1
4z x+y
x+y+z
1
=>64xyx z+y
y+z z+x
1 =>xyx z+y
y+z z+x
1
64
64
. Vậy Max A =1
Phân tích sai lầm: Sai lầm ở chỗ chưa chi ra khả năng xảy ra dấu “=”
z+y = x
x
y
z
y+x = z
0
ĐK để Max A =1
( vô lí )x+z = y
x + z + y = 1
64
là :
x + z + y = 1
x, y, z
0
x, y, z
0
Lời giải đúng: Ta có :1 = x +y+ z
3 x.y.z
3
(1)
3
2 = x +y + z+x + y+ z
3
x +y z+x
y+ z
(2)3
Từ (1) và (2) =>2
3
3
x y z
. . . x +y z+x
y+ z
hay:3
2
2
3 A
A
9
Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: [email protected] | Hotline: 024 2242 6188
x +y = z+x = y+ z
2
3
1
1
Max A =x
y
z
x
y
z
khi, ,
0
3
x y z
VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của :A
(x
a)(x
b)
với x > 0, a, b là các hằng số dương.x
x
a
Lời giải sai: Ta có:2 ax
2 ax.2 bx
4
ab
x
a
x b
x
2 bx
x b
vậy Min A =4 ab
x
a
b
Do đó:A
(x
a)(x
b)
4x ab
4 ab
x
x
Phân tích sai lầm: Nếua
b
thì không có: A =4 ab
. Lời giải đúng : Ta cóA
(x a)(x b) x
2
ax+ bx+ab
x
ab
(a b)
x
x
x
Theo bất đẳng thức Cauchy :x
ab
2 ab
x
nên A ≥ 2ab
+ a + b =
a
b
2
min A =
a
b
2
khi và chi khi
x
ab
x
x
ab
.
x 0
VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ VD1: Cho x > 0, y > 0 thỏa mẫn đk1
1
1
x
y
Tìm GTNN của bt:A =
x
y
Do x > 0, y > 0 nên1
0,
1
0
x
áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số1 1
,
x y
y
ta có:1 1
1
1 1
.
Hay1
1
4
xy
=>xy
4
2
x
y
x y
Mặt khác ta có: x > 0, y > 0 =>x
0,
y
0
. áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:x
y
xy
2
2 4
4
x
y
Vậy: Min A = 4 khi :1
1
1
4
VD2 : Tìm GTNN của của biểu thức :A
x
2
x 1
x
2
x 1
2
1
3
3
Ta có:x
x 1
x
x
R
2
4
4
x
x 1
x
x
R
Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 sốx
2
x 1, x
2
x 1
ta có :2
2
2
2
4
4
2
x
x 1
x
x 1
2
x
x 1. x
x 1
2 x
x
1
2
4
2
x
x
1 1
Max A = 2 khi
x
0
2
2
x
x 1
x
x 1
với x, y, z > 0. VD3 Tìm giá trị nhỏ nhất của :A
x
y
z
y
z
x
Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương:A
x
y
z
3
3
x y z
. .
3
y
z
x
y z x
Do đómin
x
y
z
3
x
y
z
x
y
z
y
z
x
y
z
x
Cách 2 : Ta có :x
y
z
x
y
y
z
y
. Ta đã cóx
y
2
y
z
x
y
x
z
x
x
y
x
(do x, y > 0) nên để chứng minhx
y
z
3
y
z
x
ta chỉ cần chứng minh :y
z
y
1
z
x
x
(1) (1) xy + z2
– yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz) xy + z2
– yz – xz ≥ 0 y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 (x – z)(y – z) ≥ 0 (2) (2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (1) đúng. Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất củax
y
z
y
z
x
. VD 4: Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1. Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x, y, z ta có: 1 = x + y + z ≥ 3.3
xyz
(1) Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x+y, y +z, z + x ta có : 2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3.3
(x
y)(y
z)(z
x)
(2) Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều không âm) : 2 ≥ 9.3
A
A ≤2
3
max A =
khi và chỉ khi x = y = z =1