THÊM 1 HẠNG TỬ VÀO BIỂU THỨC ĐÃ CHO

1 - x

Biện pháp 4: Thêm 1 hạng tử vào biểu thức đã cho: VD1 : Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2 Tìm GTNN của biểu thức:

2

2

2







P

x

y

z







y

z

z

x

y

x







x

2

2

x

y

z

x

y



z



2Ta có :

y

z

x

.

2.



4

2

4

y



z

+

Trang chủ: https://vndoc.com/ | Email hỗ trợ: [email protected] | Hotline: 024 2242 6188

y

2

y

x

z

y

x



z



2

x

z

y

x



z

+

z

2

z

y

x

z

y



x



2

y

x

z

y



x

+











x

y

z

y

z

x

z

y

x











  

=>











x

y

z





4

4

4





 

x

y

z

x

y

z







  

Hay:

 

 

x

y

z

x

y

z

x

y

z







   





P

1

2

2





 



y

z











   

Vậy Min P = 1



 



x

z

4

3







z

y

x

 



y

x

Lƣu ý: Nếu ta lần lượt thêm ( x + y), ( z + y), ( x + z) vào

^z

²

,

^x

²

,

^y

²

y+x

y+z

z+x

ta vẫn khử được (x + y), ( z + y), ( x + z) nhưng không tìm được x, y, z để dấu dấu đẳng thức xảy ra đồng thời. Khi đó không tìm được giá trị nhỏ nhất. VD2 : Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn

^a

^b

1

x

 

y

(a và b là hằng số dương).









 





Giải . Cách 1 : A = x + y = 1.(x + y) =

^a

^b



^x

^y



^a

^ay

^bx

^b









.

x

y

x

y

Theo bất đẳng thức Cauchy với 2 số dương :

^ay

^bx

2

^{ay bx}

.

2 ab

x



y



x

y



. Do đó

^A

^{  }

^a

^b

^{2 ab}

^



^a

^

^b



²

^.





ay

bx





x

y

  

 

²



  



x

a

ab

a

b





x

y

1

y

b

ab

min A



a



b

với



 









x, y 0





Cách 2 : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki :

 

a

b

a

b

2



























A

(x

y).1

(x

y)

x.

y.

a

b



 



. Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của A. VD3 Tìm GTNN của

A

^x

²

^y

²

^z

²







biết x, y, z > 0 ,

xy



yz



zx



1

.

x

y

y

z

z

x







 

Giải Theo VD1 BIỆN PHÁP 4:

^x

²

^y

²

^z

²

^x

^y

^z







. Theo bất đẳng thức Cauchy

x

y

y

z

z

x

2













  





.

xy ;

yz ;

zx nên x

y

z

xy

yz

zx





xy

yz

zx

x+y+z

1





hay

2

2

2

min A =

¹

2

x

y

z

¹



  

3

. VẬN DỤNG BDT

A



B



A+B

ĐỂ TÌM CỰC TRỊ