2 . 2 0 0
n m pn m pm pm
* Xét c = 0
- Nếu a = ⇒ = ⇒ 0 b 0 f x ( ) là đa thức không, do đó f x ( ) sẽ có nghiệm
trong ( ) 0;1
- Nếu a ≠ 0 , từ giả thiết b n 1
⇒ − = a m < và
( ) ( ) 0 b ( ) 0;1
f x x ax b x
= + = ⇔ = − ∈ a
= − < ⇒
* Xét c ≠ 0 ta có: f n . 0 f ( ) pm n 2 f 2 ( ) 0 0 f x ( )
có nghiệm
m pm
( )
x m
0; n 0;1
∈ ⊂
VẬN DỤNG ĐIỀU KIỆN CÓ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC
2 TRONG BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
GTLN,GTNN (Phương pháp miền giá trị hàm số)
+ +
Bài toán 1: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức y ax bx c 2 2
= + + với
mx nx p
2 0
mx + nx p + > ∀ x .
Phương pháp:
Gọi y 0 là một giá trị của biểu thức: Khi đó
2 2
( ) ( )
y y m a x y n b x y p c
= ⇔ − + − + − =
0 ax bx c 2 0 0 0 0
+ + . (*)
Ta xét 2 trường hợp:
+ Nếu y m a 0 0 y 0 a
= m là
− = ⇔ = m thay vào ( ) * ta tìm được x suy ra y 0 a
một giá trị của biểu thức.
− ≠ ⇔ ≠ m thì (*) là phương trình bậc 2 ẩn x . Điều kiện
để phương trình có nghiệm là: ∆ ≥ 0 . Từ đó ta suy ra điều kiện của y 0 . Trên
cơ sở đó ta tìm được GTLN, GTNN (nếu có) của biểu thức.
+ Ngoài ra trong quá trình chứng minh bất đẳng thức ta cần nắm kết quả
∆ ∆
b b
= + − = + −
a f x a x a x
sau: Ta có: . ( ) 2 2 2 2 2
a a a
2 4 2 4
. Từ đó suy ra
Nếu ∆ ≤ 0 thì a f x . ( ) ≥ ⇔ 0 a f x , ( ) luôn cùng dấu. Một kết quả thường
xuyên sử dụng trong giải toán là: “Nếu tam thức bậc 2 : f x ( ) = ax bx c 2 + +
có a > ∆ ≤ ⇒ 0, 0 f x ( ) ≥ ∀ 0, x .”
Ví dụ 1: Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức:
y x
a) 2 2
= − + .
x x
5 7
− +
b) 2 2 8 7
P x
= + .
1
x xy y
A x xy y
c) 2 2 2 2 9 2 2
= + + với y ≠ 0 .
2 5
x xy
= +
d) 2 2 12 2
A xy y
+ + biết x 2 + y 2 = 1 (Đề TS ĐH khối B- 2008)
1 2 2
Lời giải:
x − x + = x − + > , ∀ x suy ra biểu thức y luôn xác
a) Do 2 5 7 5 2 3 0
2 4
định với mọi x . Gọi y 0 là một giá trị của biểu thức khi đó ta có:
y x y x y x y
= ⇔ − − + =
0 2 0 1 5 0 7 0 0
− + ( ) * .
+ Nếu 0 1 5 7 0 7
y = ⇒ − + = ⇔ = x x 5 điều đó có nghĩa là y 0 = 1 là một giá
trị của biểu thức nhận được.
+ Nếu y 0 ≠ 1 thì (*) là một phương trình bậc 2 có
( ) 5 y 0 2 4. ( y 0 1 .7 ) y 0 y 0 ( 28 3 y 0 )
∆ = − − = − . Phương trình có nghiệm khi và
chỉ khi 0 0 0 28
∆ ≥ ⇔ ≤ ≤ . Để ý rằng với mỗi giá trị y 0 = 0 hoặc
y 3
0 28
y = 3 thì ∆ = 0 nên
x y
+ GTNN của y là 0 khi và chỉ khi 2 ( 5 0 0 1 ) 0
= − y =
− .
Bạn đang xem 2 . - Chuyên đề hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai ôn thi vào lớp 10 -
