CÁC VÍ DỤ MINH HỌA. VÍ DỤ 1

1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n và n

³

chia hết cho 3 thì n chia hết cho 3. Lời giải Giả sử n không chia hết cho 3 khi đó n 3k 1 hoặc n 3k 2, k Z Với n 3k 1 ta có n

³

3k 1

³

27k

³

27k

²

9k 1 không chia hết cho ba (mâu thuẫn) Với n 3k 2 ta có n

³

3k 2

³

27k

³

54k

²

36k 4 không chia hết cho ba (mâu thuẫn)

Truy cập website: hoc360.net để tải tài liệu đề thi miễn phí

Vậy n chia hết cho 3. Ví dụ 2: Cho tam thức f x ax

²

bx c a, 0. Chứng minh rằng nếu tồn tại số thực sao cho a f.  0 thì phương trình f x 0 luôn có nghiệm.

2

f x a x b b ac,

2

4Ta có 2 4a a . Giả sử phương trình đã cho vô nghiệm, nghĩa là  0. af x a x b xKhi đó ta có:

₂

²

2 4 0, aSuy ra không tồn tại  để af  0, trái với giả thiết. Vậy điều ta giả sử ở trên là sai, hay phương trình đã cho luôn có nghiệm. Ví dụ 3: Cho a b c, , dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng nếu 1 1 1a b ca b c thì có một và chỉ một trong ba số a b c, , lớn hơn một. Giả sử ngược lại, khi đó ta có các trường hợp sau: TH1: Với ba số đều lớn hơn 1 hoặc ba số đều nhỏ hơn 1 thì mâu thuẫn với giả thiết 1abc TH2: Với hai trong ba số lớn hơn 1, không mất tính tổng quát giả sử a 1,b 1 Vì abc 1 nên c 1 do đó 1 1 1 0 1 0a b c abc a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b ca b c (mâu thuẫn) Vậy chỉ có một và chỉ một trong ba số a b c, , lớn hơn một. Ví dụ 4: Chứng minh rằng một tam giác có đường trung tuyến vừa là phân giác xuất phát từ một đỉnh là tam giác cân tại đỉnh đó. Giả sử tam giác ABC có AH vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân Agiác và không cân tại A. Khôngmất tính tổng quát xem nhưAC AB . Trên AC lấy D sao cho AB AD . Gọi L là giao điểm của BD và AH. Khi đó AB AD BAL, LAD và AL chung nên ABL ADLDLDo đó AL LD hay L là trung điểm của BD HB CSuy ra LH là đường trung bình của tam giác CBD LH DC điều này mâu thuẫn vì LH DC, cắt nhau tại A / /Vậy tam giác ABC cân tại A.