2.3...TỬ. CHẲNG HẠN
1.2.3...
tử.
Chẳng hạn:
(
a
+
b
)
4
=
a
4
+
4
a b
3
+
6
a b
2
2
+
4
ab
3
+
b
4;
(
a b
−
)
5
=
a
5
−
5
a b
4
+
10
a b
3
2
−
10
a b
2
3
+
5
ab
4
−
b
5
.
Áp dụng các hằng đẳng thức trên vào tính chất chia hết ta có:
•
a
n
−
b
n
chia hết cho
a b
−
(với
a
≠
b
và
n
nguyên dương);
•
a
2
n
+
1
+
b
2
n
+
1
chia hết cho
a b
+
.
•
a
2
n
−
b
2
n
chia hết cho
a b
+
.
Ví dụ 32: Chứng minh rằng:
11
10
−
1
chia hết cho
100
.
Giải
Ta có:
11
10
− =
1 11
10
−
1
10
=
(
11 1 11
−
)
(9
+
11
8
+ + +
... 11 1
)(9
8
)=
+
+ +
.
10 11
11
... 1
Vì
11
9
+
11
8
+ + +
... 11 1
có chữ số tận cùng ( hang đơn vị) bằng 0 nên
11
9
+
11
8
+ + +
... 11 1
chia
hết cho 10. Vậy
11
10
−
1
chia hết cho 100
.
Ví dụ 33: Với
n
là số nguyên dương chẵn, chứng minh rằng:
20
n
+
16
n
− −
3
n
1
chia hết cho 323.
Ta có:
323 17.19
=
. Áp dụng các hằng đẳng thức tổng quát ta có
20
n−
1
chia hết cho 19 và vì
n
chẵn nên
16
n
−
3
n
chia hết cho
(
16 3
+ =
)
19
, do đó
20
n
+
16
n
− − =
3
n
1
(20
n
− +
1
) (16
n
−
3
n
)chia hết cho 19.
Mặt khác, vì
20
n
−
3
n
chia hết cho 17 và 16
n
−
1
chia hết cho
(
16 1
+ =
)
17
nên
( ) ( )20
n
+
16
n
− − =
3
n
1
20
n
−
3
n
+
16
n
−
1
chia hết cho 17. Vậy
20
n
+
16
n
− −
3
n
1
chia hết cho 323.
Ví dụ 34: Chứng minh rằng không có đa thức
f x
( )
nào với hệ số nguyên mà
f
( )
7
=
5
và
( )
15
9
f
=
.
Giả sử có đa thức với hệ số nguyên:
( )
n
n
n
1
n
1
...
1
0
(
0
, ,...,
1
n
)
f x
=
a x
+
a
−
x
−
+ +
a x
+
a a a
a
∈
mà
f
( )
7
=
5
và
f
( )
15
=
9
. Khi đó:
1
7
n
7
n
...
.7
5;
a
+
a
−
−
+ +
a
+
a
=
(1)
1
1
0
n
n
a
+
a
−
−
+ +
a
+
a
=
(2)
15
n
15
n
...
.15
9.
Lấy (2) trừ (1) ta được:
(15
n
7
n
)1
(15
n
1
7
n
1
)...
1
(
15 7
)
4
a
−
+
a
−
−
−
−
+ +
a
−
=
.
Vế trái gồm các hạng tử chia hết cho 15 7
− =
8
nên vế trái chia hết cho 8, còn vế phải bằng
4 không chia hết cho 8. Vậy không có đa thức
f x
( )
nào với hệ số nguyên mà
f
( )
7
=
5
và
C. LUYỆN TẬP
Bạn đang xem 1. - Lý thuyết, các dạng toán và bài tập phép nhân và phép chia đa thức -
