3 = 6 (VÌ 2 VÀ 3 LÀ HAI SỐ NGUYÊN TỐ CŨNG NHAU) VÍ DỤ 21. CHỨNG MINH...
2.3 = 6 (vì 2 và 3 là hai số nguyên tố cũng nhau)
Ví dụ 21. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có:
a)
n
3
−
13
n
chia hết cho 6;
b)
n
5
−
5
n
3
+
4
n
chia hết cho 120;
c)
n
3
−
3
n
2
− +
n
3
chia hết cho 48 với n lẻ.
Giải
a) Ta có
n
3
−
13
n
=
(
n
3
− −
n
) 12
n
theo ví dụ 20 ta được
n
3
−
n
chia hết 6 và 12n chia hết cho 6
nên
n
3
−
13
n
chia hết cho 6 với mọi số nguyên n
b) Ta có:
( ) ( )−
+
=
−
−
+
=
− −
−
5
3
5
3
3
3
2
2
5
4
4
4
1
4
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
( )( )(
)(
)(
)(
)
=
−
−
=
−
+
−
+
2
2
1
4
1
1
2
2
n n
n
n n
n
n
n
là tích của 5 số nguyên liên tiếp.
Trong 5 số nguyên liên tiếp có ít nhất hai số là bội của 2 (trong đó có một số là bội
của 4, một số bội của 3 và một số bội của 5). Do đó tích 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho