CHỨNG MINH RẰNG A=N3+ +(N 1) (3+ +N 2)3 9VỚI MỌI N * LỜI GI...

Bài 5. Chứng minh rằng ^A=n

³

^{+ +}

(

^{n 1}

) (

³

^{+ +n 2}

)

³

^{9với mọi n}

^*

Lời giải

( ) (

³

)

³

3

1 2A=n + n+ + n+

3

3

2

3

2

3 3 1 6 12 8A=n +n + n + n+ +n + n + n+

3

2

3 9 15 9A= n + n + n+

(

²

) (

²

)

3 5 9 1A= n n + + n +Nếu ^{n 33 9n  =A 3n n}

(

²

^{+ +5}

) (

^{9 n}

²

^{+1 9}

)

Nếu n: 3 dư 1 thì n=3k+1

(

²

) ^{( ) ( )}

²

 + = +  + + 3n n 5 3 3k 1  3k 1 5

( ) (

²

)

= + + + +3 3k 1 . 9k 6k 1 5= + + +3 3k 1 3 3k 2k 29 3k 1 3k 2k 2 9 = + + +3 5 9 1 9A n n nNếu n: 3dư 2 thì n=3k+23n n 5 3 3k 2  3k 2 5

( ) (

²

) ( ) (

²

)

= + + + + = + + +3 3k 2 . 9k 12k 4 5 3 3k 1 3 3k 4k 39 3k 2 3k 4k 3 9Vậy ^A=n

³

^{+ +}

(

^{n 1}

) (

³

^{+ +n 2}

)

³

^{9với mọi n}

^*

Phản biện : Bổ sung cách giải ngắn gọn hơn Ta chứng minh 3n

³

15 . 9nTa có : 3n

³

15n 3n n 1 n 1 18nDo n n 1 n 1 là tích 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 ( vì trong 3 số nguyên liên luôn có 1 hạng tử chia hết cho 2 và luôn tồn tại 1 hạng tử nào đó chia hết cho 3 ) và 6 2.3 với 2;3 1 3 n 1 n n 1 18 3n

³

15 18n 3n

³

15 9nVậy A=3n

³

+9n

²

+15n+9 9.Ta được điều cần chứng minh