2D A B2 10B B1VẬY CÁC CẶP SỐ (A ; B) CẦN TÌM LÀ

5

.

2

d

a b

2

10

b

b

1

Vậy các cặp số (a ; b) cần tìm là : (1 ;14), (2 ; 7), (3 ; 12), ( 5 ; 10) và đảo ngược lại.

 Dạng 5: Các bài toán liên quan đến hai số nguyên tố cùng nhau

*

Cơ sở

phương pháp:

Để chứng minh hai số là nguyên tố cùng nhau, ta chứng minh

chúng có ƯCLN = 1.

* Ví dụ minh họa:

Bài toán 1. Chứng minh rằng:

a)

Hai số tự nhiên liên tiếp (khác 0) là hai số nguyên tố cùng nhau.

b)

Hai số lẻ liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau.

c)

2n + 1 và 3n + 1 (

ⁿ

∈

^N

) là hai số nguyên tố cùng nhau.

Hướng dẫn giải

CH

IN

H

P

H

Ụ

C

K

Ỳ

T

H

I H

Ọ

C S

IN

H

GI

Ỏ

I C

ẤP

H

AI

a)

Gọi d

∈

ƯC (n , n + 1)

^⇒

(

ⁿ

^{+ −}

¹

)

^{n d}



^⇒

¹



^d

^{⇒ =}

^d

¹

. Vậy n và n + 1 là hai số nguyên tố

cùng nhau.

b) Gọi d

∈

ƯC (2n + 1, 2n + 3)

^⇒

(

²

ⁿ

^{+ −}

³

) (

²

ⁿ

⁺

¹

)



^d

^⇒

²



^d

^{⇒ ∈}

^d

{ }

^{1; 2 .}

Nhưng

d

≠

2

vì d là ước của số lẻ. Vậy d = 1.

Vậy (2n + 1) và (2n + 3) là hai số nguyên tố cùng nhau.

c) Gọi d

∈

ƯC (2n + 1,3n + 1)

⇒

3(2

n

+ −

1) 2(3

n

+

1)



d

⇒

1



d

⇒ =

d

1

.

Vậy 2n + 1 và 3n +1 là hai số nguyên tố cùng nhau

Bài toán 2. Cho a và b là hai số nguyên tố cùng nhau. Chứng minh rằng các số sau cũng là

hai số nguyên tố cùng nhau:

a) a và a + b b) a

²

và a + b c) ab và a + b.

a)

Gọi

d

∈

ƯC(a, a + b)

^⇒

(

^a

⁺

^b

)

⁻

^{a d}



^⇒

^{b d}



Ta lại có:

a d



⇒ ∈

d

ƯC(a, b), do đó d = 1

(vì a và b là hai số nguyên tố cùng nhau). Vậy (a, a + b) = 1.

b)

Giả sử a

²

và a + b cùng chia hết cho số nguyên tố d thì a chia hết cho d, do đó b

cũng chia hết cho d. Như vậy a và b cùng chia hết cho số nguyên tố d, trái với giả

thiết (a, b) = 1.

Vậy a

²

và a + b là hai số nguyên tố cùng nhau.

c)

Giả sử ab và a + b cùng chia hết cho số nguyên tố d. Tồn tại một trong hai thừa số a

và b, chẳng hạn là a, chia hết cho d, do đó b cũng chia hết cho d, trái với (a, b) = 1.

Vậy (ab, a + b) = 1.

Bài toán 3. Tìm số tự nhiên n để các số: 9n + 24 và 3n + 4 là các số nguyên tố cùng nhau?

Giả sử 9n + 24 và 3n + 4 cùng chia hết cho số nguyên tố d.

CH

UY

ÊN

Đ

Ề

S

Ố

H

Ọ

C

Ta có

(

⁹

ⁿ

⁺

²⁴

) (

⁻

^{3 3}

ⁿ

⁺

⁴

)



^d

^⇒

¹²



^d

^{⇒ ∈}

^d

{ }

^2;3

. Điều kiện để (9n +

24, 3n +

4) = 1 là