TỠM SỐ CÚ 2 CHỮ SỐ SAO CHO TỚCH CỦA SỐ ĐÚ VỚI TỔNG CỎC CHỮ SỐ CỦA NÚ...

6. Số nguyên tố cùng nhau: * Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ƯCLN bằng 1.Hai số a và b nguyên tố cùng nhau

ƯCLN(a, b) = 1.Các số a, b, c nguyên tố cùng nhau

ƯCLN(a, b, c) = 1.Các số a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau

ƯCLN(a, b) = ƯCLN(b, c) = ƯCLN(c, a) =1.II. Các ví dụ:VD1: Ta biết rằng có 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100. Tổng của 25 số nguyên tố là số chẵn hay số lẻ.HD:Trong 25 số nguyên tố nhỏ hơn 100 có chứa một số nguyên tố chẵn duy nhất là 2, còn 24 số nguyên tố còn lại là số lẻ. Do đó tổng của 25 số nguyên tố là số chẵn.VD2: Tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012. Tìm số nguyên tố nhỏ nhất trong ba số nguyên tố đó.Vì tổng của 3 số nguyên tố bằng 1012, nên trong 3 số nguyên tố đó tồn tại ít nhất một số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 và là số nguyên tố nhỏ nhất. Vậy số nguyên tố nhỏ nhất trong 3 số nguyên tố đólà 2.VD3: Tổng của 2 số nguyên tố có thể bằng 2003 hay không? Vì sao?Vì tổng của 2 số nguyên tố bằng 2003, nên trong 2 số nguyên tố đó tồn tại 1 số nguyên tố chẵn. Mà số nguyên tố chẵn duy nhất là 2. Do đó số nguyên tố còn lại là 2001. Do 2001 chia hết cho 3 và 2001 > 3. Suy ra 2001 không phảilà số nguyên tố.VD4: Tìm số nguyên tố p, sao cho p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố.Giả sử p là số nguyên tố.- Nếu p = 2 thì p + 2 = 4 và p + 4 = 6 đều không phải là số nguyên tố.- Nếu p

3 thì số nguyên tố p có 1 trong 3 dạng: 3k, 3k + 1, 3k + 2 với k

N*.+) Nếu p = 3k

p = 3

p + 2 = 5 và p + 4 = 7 đều là các số nguyên tố.+) Nếu p = 3k +1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1)

p + 2

3 và p + 2 > 3. Do đó p + 2 là hợp số.+) Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2)

p + 4

3 và p + 4 > 3. p + 4 là hợp số.Vậy với p = 3 thì p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố.VD5: Cho p và p + 4 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 8 là hợp số.Vì p là số nguyên tố và p > 3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: 3k + 1, 3k + 2 với k

N*.- Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 6 = 3(k + 2)

p + 4

3 và p + 4 > 3. p + 4 là hợp số ( Trái với đề bài p + 4 là số nguyên tố).- Nếu p = 3k + 1 thì p + 8 = 3k + 9 = 3(k + 3)

p + 8

3 và p + 8 > 3. p + 8 là hợp số.Vậy số nguyên tố p có dạng: p = 3k + 1 thì p + 8 là hợp số.VD6: Chứng minh rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n + 1 hoặc4n – 1.Mỗi số tự nhiên n khi chia cho 4 có thể có 1 trong các số d: 0; 1; 2; 3. Do đó mọi số tự nhiên n đều có thể viết đợc dới 1 trong 4 dạng: 4k, 4k + 1, 4k + 2, 4k + 3 với k

N*.- Nếu n = 4k

n

4

n là hợp số.- Nếu n = 4k + 2

n

2

n là hợp số.Vậy mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4k + 1 hoặc 4k – 1. Hay mọi số nguyên tố lớn hơn 2 đều có dạng 4n + 1 hoặc 4n – 1 với n

N*.VD7: Tìm ssó nguyên tố, biết rằng số đó bằng tổng của hai số nguyên tố và bằng hiệu của hai số nguyên tố.

ả sử a, b, c, d, e là các số nguyên tố và d > e.

Gi

Theo bài ra: a = b + c = d - e (*).

Từ (*)

a > 2

a là số nguyên tố lẻ.

b + c và d - e là số lẻ.

Do b, d là các số nguyên tố

b, d là số lẻ

c, e

là số chẵn.

c = e = 2 (do c, e là các số nguyên tố).

a = b + 2 = d - 2

d = b + 4.

Vậy ta cần tìm số nguyên tố b sao cho b + 2 và b + 4 cũng là các số nguyên tố.

VD8: Tìm tất cả các số nguyên tố x, y sao cho: x

2

– 6y

2

= 1.

2

2

2

2

2

Ta c

y

x

y

x

x

y

ó: x

6

1

1

6

(

1)(

1)

6

 

2

Do y

x

x

6

2

(

1)(

1) 2

à x - 1 + x + 1 = 2x

x - 1 và x + 1 có cùng tính chẵn lẻ.

M

x - 1 và x + 1 là hai số chẵn liên tiếp

2

2

(

1)(

1) 8

6

8

3

4

x

x

y

y

 

y

y

y

x

2

2

2

5

VD9: Cho p và p + 2 là các số nguyên tố (p > 3). Chứng minh rằng p + 1

6.HD:Vì p là số nguyên tố và p > 3, nên số nguyên tố p có 1 trong 2 dạng: 3k + 1, - Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 3 = 3(k + 1)

p + 2

3 và p + 2 > 3. p + 2 là hợp số ( Trái với đề bài p + 2 là số nguyên tố).- Nếu p = 3k + 2 thì p + 1 = 3k + 3 = 3(k + 1) (1). Do p là số nguyên tố và p > 3

p lẻ

k lẻ

k + 1 chẵn

k + 1

2 (2)Từ (1) và (2)

p + 1

6.II. Bài tập vận dụng: