GIẢ SỬ TẤT CẢ CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐÃ CHO KHÔNG ĐỒNG QUY TẠ...
Bài 16.
Giả sử tất cả các đường thẳng đã cho
không đồng quy tại một điểm. Xét giao
A
điểm A của hai đường thẳng tùy ý trong
d
5
n đường thẳng đã cho. Kí hiệu hai
E
đường thẳng này là
d
1
và
d
2
. Với mỗi
d
3
B
C
D
đường thẳng
d
3
không đi qua điểm A ta
d
2
d
1
d
4
xét khoẳng cách từ điểm A đến đường
CH
IN
H
P
H
Ụ
C
K
Ỳ
T
H
I H
Ọ
C S
IN
H
GI
Ỏ
I C
Ấ
P H
AI
thẳng
d
3
. Trong số các cặp điểm A và
đường thẳng
d
3
như vậy ta chọn cặp
điểm A và đường thẳng
d
3
mà khoảng
cách từ A đến
d
3
là nhỏ nhất.
Giả sử đường thẳng
d
3
cắt hai đường thẳng
d
1
và
d
2
lần lượt tại B và C. Theo giả thiết
của bài toán thì tồn tại đường thẳng
d
4
đi qua A và cắt đường thẳng
d
3
lại D. Không mất
TỦ SÁCH CẤP 2| 508
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP 2 |
tính tổng quát ta có thể giả sử D thuộc đoạn BC. Qua D tồn tại đường thẳng
d
5
cắt phần
trong của đoạn thẳng AB hoặc AC. Giả sử đường thẳng
d
5
cắt AC tại E nằm trong đoạn
AC. Khi đó khoảng cách từ E đến đường thẳng
d
3
nhỏ hơn khoảng cách từ A đến đường
thẳng
d
3
, điều này mâu thuẫn với khoảng cách từ A đến
d
3
là nhỏ nhất.
Vậy tất cả các đường thẳng đã cho đồng quy tại một điểm.