7 CHO A,B LÀ CÁC VÀNH VÀ LÀ MỘT ĐỒNG CẤU VÀNH. A)CHỨNG MINH...

Câu 4.7 Cho A,B là các vành và là một đồng cấu vành. a)Chứng minh nếu là vành con của A thì là vành con của B. b)Chứng minh nếu I là một idean của A và f là toàn cấu thì là ideal của B. c)Cho ví dụ chứng tỏ rằng nếu bỏ đi giả thiết f toàn cầu thì khẳng định câu b) không còn đúng. (Đợt 1 năm 2015) Giải.a)Kiểm tra các điều kiên vành con. b)Theo a), là một vành con của B. Với mọi và với mọi , tồn tại mà . Do f toàn cấu nên tồn tại mà . Ta có , do I là ideal của A nên . Vậy , do đó là ideal của B. c)Ví dụ ℚ và ℚ là đồng cấu bao hàm. Lấy là ideal của nhưng không là ideal của ℚ.