8 A) CHO R LÀ MỘT VÀNH ĐƠN CÓ ĐƠN VỊ, TỨC LÀ VÀNH CHỈ CÓ HAI IĐ...

Câu 4.8 a) Cho R là một vành đơn có đơn vị, tức là vành chỉ có hai iđêan là {0}và R. Chứng minh rằng mỗi đồng cấu vành unita f: R → S, với S là vành có đơn vị tuỳ ý, hoặc là tầm thường hoặc là đơn cấu. b) Cho S là vành có đơn vị tuỳ ý và ℚ là trường các số hữu tỉ. Giả sử f : ℚ → S và h : ℚ → S là các đồng cấu vành unita sao cho f(n) = h(n), với mọi n . Chứng minh rằng f = h. (Đợt 1, 2016) Giải. a) Do Ker f là iđêan của vành đơn R nên suy ra Ker f chỉ là {0} hoặcR. Nếu Ker f =R thì f là đồng cấu tầm thường. Trường hợp Ker f= {0} ta có f là đơn cấu. b) Do trường ℚ các số hữu tỉ là vành đơn nên theo câu a) ta có f, h chỉ có thể là đồng cấu tầm thường hay là đơn cấu vành. Trường hợp f, h là đồng cấu tầm thường ta luôn có f = h. Bây giờ ta xét trường hợp f và h là đơn cấu vành. Khi đó, do ℚ là trường nên suy ra f (ℚ) và h(ℚ) là các trường trong S với phần tử đơn vị 1

_S

= f(1) = h(1). Giả sử A là vành con của S sinh bởi f (ℚ)h(ℚ), ta có 1

_S

cũng là phần tử đơn vị trong A và các đồng cấu f, h được xét như đồng cấu ℚ → A là unita. Do đó với n

^*

ta có f(n) và h(n) khả nghịch trong A và [f(n)]

^-1

= f(1/n),[h(n)]

^-1

= h(1/n). Từ giả thiết f(n) = h(n) suy ra [f(n)]

^-1

= [h(n)]

^-1

hay f(1/n)= h(1/n). Do đó, với mọi x =^mn ℚ ta có: f(x)= f(^mn ) = m f(1/n)= mh(1/n) = h(^mn )= h(x). Hay f = h.