10 CHO A LÀ MỘT VÀNH KHÁC KHÔNG SAO CHO VỚI MỌI...

Câu 4.10 Cho A là một vành khác không sao cho với mọi { } và , phương trình có nghiệm trong A. Chứng minh rằng: a)Mọi phần tử khác không của A đều là ước của không trong A. b)Vành A có đơn vị. c)A là một thể (thể là vành có đơn vị và mọi phần tử khác không đều khả nghịch). (Đợt 1, 2017) Giải. a)Ta cần chứng minh rằng nếu { } thì . Thật vậy, giả sử . Theo giả thiết, tồn tại mà và . Khi đó , vô lý. b)Do A là vành khác không nên tồn tại { }. Theo giả thiết, tồn tại mà . Ta sẽ chứng minh e là đơn vị. Thật vậy, vì nên . Do nên hay , suy ra . Bây giờ, với ta có , suy ra . Vì A không có ước của 0 nên . Hoàn toàn tương tự, ta có . Vậy e là đơn vị. c)Ta chứng minh mọi phần tử { } là khả nghịch. Thật vậy, tồn tại mà . Suy ra hay , vậy , do nên . Vậy

.