14 CHO A LÀ MỘT VÀNH KHÁC KHÔNG SAO CHO VỚI MỌI...

Câu 4.14 Cho A là một vành khác không sao cho với mọi { }, tồn tại duy nhất phần tử sao cho . Chứng minh: a) Mọi phần tử khác không của A đều không phải là ước của không trong A. b) Vành A có phần tử đơn vị. c) A là một thể. (thể là vành có đơn vị và mọi phần tử khác không đều khả nghịch) (Đợt 2 năm 2019, đợt 1 năm 2020) Giải. a)Giả sử ngược lại ac=0 với a,c khác 0. Khi đó tồn tại b sao cho a=aba, và vì ac=0 nên a=a(b+c)a. Tính duy nhất kéo theo b=b+c, do đó c=0, trái với giả sử ban đầu. b) Cố định a khác không và chọn c sao cho a=aca. Đặt e=ac ta thấy e khác không và ee=e. Với mỗi x trong R, ta có e(ex-x)=0=(xe-x)e. Vì e khác không và R không có ước của không nên ex=x=xe, như thế R tồn tại đơn vị. c)Lấy { }, tồn tại mà . Suy ra hay . Vậy c khả nghịch. %%%%%%%%%%%ọi A