TA THẤY VỚI N LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG THÌ N LÀ SỐ TỰ NHIÊN, NẾU N KHÁC...

222. Ta thấy với n là số chính phương thì

n

là số tự nhiên, nếu n khác số chính phương thì

n

^là

số vơ tỉ, nên

n

khơng cĩ dạng

....,5

. Do đĩ ứng với mỗi số n ∈ N

^*

cĩ duy nhất một số nguyên a

n

gần

n

^nhất.

Ta thấy rằng, với n bằng 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … thì a

n

bằng 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, … Ta sẽ chứng minh rằng

a

n

lần lượt nhận các giá trị : hai số 1, bốn số 2, sáu số 3… Nĩi cách khác ta sẽ chứng minh bất phương

trình :

1

1

− <

< +

cĩ hai nghiệm tự nhiên.

1

x 1

2

2

− <

< +

cĩ bốn nghiệm tự nhiên.

2

x

2

− <

< +

cĩ sáu nghiệm tự nhiên.

3

x 3

− <

< +

cĩ 2k nghiệm tự nhiên. Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với :

k

x

k

Tổng quát :

1

1

k

²

– k +

1

4

< x < k

²

+ k +

1